发现、提出数学问题的方法

常轩铭

著名数学家哈尔莫斯曾说：“问题是数学的心脏.”古希腊的三大几何作图难题推动了当时古希腊几何学的发展，1900年世界数学家大会上希尔伯特的23个数学问题推动了现当代数学学科的发展，问题是推动数学学科发展的根本动力.但是，我认为，问题的解决固然重要，但更为重要的应该是发现问题和提出问题，试想，如果没有问题的发现与提出，又怎么会有问题的解决呢？作为一名高中学生，虽然我们不可能像大数学家一样提出能影响数学学科发展的大问题，但我们可以从中学开始，尽自己的所能去提出、发现一些值得我们深入研究的问题，不断地培养自己发现问题和提出问题的能力，我想在不久的将来，说不定我们也能提出一些能推动学科发展的大问题.下面结合我自己在数学学习过程中的经历和体验，和各位同学分享自己是如何发现并提出一些数学问题的.

方法1：对概念或定义提出一些质疑

数学教材中有很多的数学概念和定义，它们是数学学科必不可少的组成部分.当我们在学习数学概念或定义时，如果能对概念或定义多问几个“为什么”，多提出一些质疑，不仅可以提出一些有价值的问题，同时能加深我们对概念或定义的理解.

以集合中的两个概念和定义为例来说明.

例1 我们在高一学习过集合的概念：“一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.”

问题1：为什么数学定义和概念前一般都会有“一般地”？

问题2：什么是一定范围？怎样才算是确定的？

例2空集有如下性质：我们约定，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

任何一个约定式定义都有它存在的合理性和必要性.因此可以提出下列问题：

问题1：为何要做这样的约定？（必要性）

问题2：为何可以做出这样的约定？（合理性）

方法2：反过来思考问题

反过来思考问题，是指学完一个命题后，追问自己：这个命题将条件作为结论，将结论作为条件是否成立？这样可以发现、提出很多新的问题.

例3初中我们曾经学过平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.那么，将条件和结论的顺序交换一下，便可以提出新的问题：两直线平行，同位角是否相等？两直线平行，内错角是否相等？两直线平行，同旁内角是否互补？

例4在“数列”一章，我们已经知道这样一个结论：

已知数列｛an｝是等差数列，则它的前n项和为将它的条件和结论交换顺序，便可提出新的问题：已知数列｛an｝的前n项和为则这个数列是否一定是等差数列？

方法3：将结论一般化

将结论一般化是指当我们学完一个命题后，追问自己：能否将命题的结论作一般性推广？这个也是比较常用的提出问题的方法.

例5对于集合子集个数的探讨，教材上让我们试着写出｛a1，a2｝的全部子集，在教材旁白部分有一个思考题：请写出｛a1，a2，a3｝的全部子集.研究了集合元素个数为2个和3个的子集个数之后，我们可以提出一个新的问题：如果集合中元素个数为n（n∈N），那么集合子集个数有多少个？并且可以思考如何给出证明.

例6当我们研究了椭圆中顶角为30°，60°等特殊的焦点三角形的面积后，我们可以提出一个新的问题：如果顶角为θ，那么焦点三角形面积的一般结论是什么？

方法4：四则运算生成新问题

四则运算生成新问题是指，如果概念（定义）或性质中有加减乘除四则运算中的一个，我们可以在其他四则运算形式下提出相似的问题.

以等差数列和椭圆为例加以说明.

例7从第二项开始，每一项与前一项的差都等于同一个常数，这样的数列为等差数列.

我们可以将差改为“和”“积”“商”，提出相似的问题.

从第二项开始，每一项与前一项的和都等于同一个常数，这样的数列为等和数列.

从第二项开始，每一项与前一项的乘积都等于同一个常数，这样的数列为等积数列.

从第二项开始，每一项与前一项的商都等于同一个常数，这样的数列为等商数列.

并且可以仿照研究等差数列的相关方法，研究等和数列、等积数列、等商数列（就是以后研究的等比数列）的通项公式、前n项的和及其他相关性质.

例8平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆.

我们可以将“和”改为“差”“积”“商”，提出相似的问题.

问题1：平面内到两个定点F1，F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？

问题2：平面内到两个定点F1，F2的距离的积等于常数的点的轨迹是什么？

问题3：平面内到两个定点F1，F2的距离的商等于常数的点的轨迹是什么？

方法5：从课本的例题和习题中提出新的问题

苏教版高中数学教材有一个很大的亮点和特色是教材的例习题的选编，每一节后面都有配套的课堂练习.习题部分分为三个层次：感受理解、思考运用、探究拓展.难度层层递进，思考的深度由浅入深，同时教材在例习题的选择上也是非常得当的.从课本的例题和习题中发现问题、提出问题也是常用的方法之一.

例9苏教版《普通高中课程标准实验教科书（必修4）》第50页有这样一个问题：

一铁棒欲通过如图1所示的直角走廊，回答下列问题：

（2）求L（θ）的最小值（用计算器或计算机）；

（3）解释（2）中所求得的L是能通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.

图1

该题是一道非常有趣的应用题，其形式新颖，又贴近生活实际，我们可以进一步提出新的问题：题目中展现的是一个不等宽的直角走廊，如果换成等宽直角走廊，情况有何变化？若将直角走廊换成折线形走廊、弯角走廊、圆角走廊，将木棒变成有厚度的平板小车（或木板），情况又是怎样的呢？

我想，如果我们能在平时的数学学习过程中活用这样一些发现、提出问题的方法，相信长久坚持下去一定能提高自己发现问题、提出问题的能力，与此同时也能不断提升问题的质量和层次.更为重要的是，在问题的提出和解决过程中，我们能收获研究问题的乐趣和数学学习的兴趣，这一点能更好地促进我们的数学学习.