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理解公式,活学活用

2018-02-26

新世纪智能(数学备考) 2018年12期
关键词:锐角值域化简

于 健

对于初学三角恒等变换的同学而言,总觉得公式众多,不能熟练对公式进行逆用或变式应用,解题时总是呆板地套用公式,解题效率低下,结果是积累的问题越来越多,越学越乱.其实我们只要理解了公式的来龙去脉,熟悉了公式的结构特征,很多时候并不需要死记硬背.

一、公式变形及主要变换策略

1.常用的公式变形

(1)tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ);(两角和与差的正切公式变形)

(3)1+sin 2α=(sinα+cosα)2,1-sin 2α=(sinα-cosα)2,sinα±cosα=

2.主要的变换策略

(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.对角的变形如,

②2α是α的二倍,4α是2α的二倍,α是的二倍是的二倍,3α是的二倍,是的二倍,是的二倍等.

(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“弦切互化”“升幂与降幂”等.

(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标.

二、应用举例

1.求值

例1已知求 sin2θ+sinθcosθ+2 cos2θ的值.

分析由已知可得tanθ=2.若直接由tanθ=2分别求出sinθ,cosθ,需要对θ分别在第一、三象限两种情形进行讨论,相当繁琐且运算量大,仔细观察sin2θ+sinθcosθ+2 cos2θ,发现这是一个关于正弦和余弦的三项齐次式,倘若能把所求的式子转化为只含有tanθ的式子,则题目就相当容易解答了.

评析解答本题的关键是实 施变“名”,即将“sin2θ+sinθcosθ+2 cos2θ”化成只含有tanθ的式子,从而快速解答.再如理解了这样的变式,我们在自己的头脑里就可以推导出用tanα表示cos 2α,tan 2α,这就是课本中所说的万能公式.

例2设α为锐角,若则的值为________.

解法一因为α为锐角且即①又因为sin2α+cos2α=1, ②

根据①②可以求出sinα,cosα,进而可求 sin2α,cos2α.最终得

解法二因为α为锐角且所以

解法三令则

因为α为锐角且,所以

评析法一是“按部就班”套用公式;法二是灵活“配角”,将要求的角配为与已知角有关的角法三是使用了换元思想,无论已知角与要求角的形式差异有多大,都可以使用这种方法,不需要刻意地“配角”.

2.化简

例3化简:

解因 为 已 知所以

评析在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于2α是α的二倍,要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,化简过程中还应该注意角的范围.

3.求函数的值域

例4已知

(1)若tanα=2,求f(α)的值;

由tanα=2,可得

所以f(x)的值域为

评析将f(x)化简是解题的关键,本题中巧妙运用“1”的代换技巧,将sin2α,cos2α化为正切tanα,为第(1)问铺平道路.

把形如y=asinx+bcosx化为y=即将原函数化成f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式,可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性等性质.

巩固练习

参考答案

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