理解公式，活学活用

于 健

对于初学三角恒等变换的同学而言，总觉得公式众多，不能熟练对公式进行逆用或变式应用，解题时总是呆板地套用公式，解题效率低下，结果是积累的问题越来越多，越学越乱.其实我们只要理解了公式的来龙去脉，熟悉了公式的结构特征，很多时候并不需要死记硬背.

一、公式变形及主要变换策略

1.常用的公式变形

（1）tanα±tanβ＝tan（α±β）（1∓tanαtanβ）；（两角和与差的正切公式变形）

（3）1＋sin 2α＝（sinα＋cosα）2，1-sin 2α＝（sinα-cosα）2，sinα±cosα＝

2.主要的变换策略

（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.对角的变形如，

②2α是α的二倍，4α是2α的二倍，α是的二倍是的二倍，3α是的二倍，是的二倍，是的二倍等.

（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“弦切互化”“升幂与降幂”等.

（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标.

二、应用举例

1.求值

例1已知求 sin2θ＋sinθcosθ＋2 cos2θ的值.

分析由已知可得tanθ＝2.若直接由tanθ＝2分别求出sinθ，cosθ，需要对θ分别在第一、三象限两种情形进行讨论，相当繁琐且运算量大，仔细观察sin2θ＋sinθcosθ＋2 cos2θ，发现这是一个关于正弦和余弦的三项齐次式，倘若能把所求的式子转化为只含有tanθ的式子，则题目就相当容易解答了.

评析解答本题的关键是实 施变“名”，即将“sin2θ＋sinθcosθ＋2 cos2θ”化成只含有tanθ的式子，从而快速解答.再如理解了这样的变式，我们在自己的头脑里就可以推导出用tanα表示cos 2α，tan 2α，这就是课本中所说的万能公式.

例2设α为锐角，若则的值为________.

解法一因为α为锐角且即①又因为sin2α＋cos2α＝1， ②

根据①②可以求出sinα，cosα，进而可求 sin2α，cos2α.最终得

解法二因为α为锐角且所以

解法三令则

因为α为锐角且，所以

评析法一是“按部就班”套用公式；法二是灵活“配角”，将要求的角配为与已知角有关的角法三是使用了换元思想，无论已知角与要求角的形式差异有多大，都可以使用这种方法，不需要刻意地“配角”.

2.化简

例3化简：

解因 为 已 知所以

评析在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，化简过程中还应该注意角的范围.

3.求函数的值域

例4已知

（1）若tanα＝2，求f（α）的值；

由tanα＝2，可得

所以f（x）的值域为

评析将f（x）化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为正切tanα，为第（1）问铺平道路.

把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝即将原函数化成f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b的形式，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性等性质.

巩固练习

参考答案