聚焦三角函数和解三角形中的经典问题

■江苏省平潮高级中学高中数学组 张晓萍

高考对三角的考查,主要围绕“和差角及倍角公式、三角形中的三角变换及最值、图像变换(平移和伸缩)、图像性质的应用、实际应用问题”等展开,凸显方程思想、整体变量观念和数形结合思想方法的具体应用。

聚焦1——利用二倍角及“二次函数关系”变结构求值或最值

例1 (2017年第三次全国大联考新课标卷Ⅰ)函数f(x)=sinx+cosxsinxcosx+1的值域为 。

聚焦2——三角变换中“恒等变形凑角”求值

剖析：给值求值,关键是找出已知式与待求式之间角的差异。从凑角入手,已知角为一个时,待求角用已知角和特殊角表示或用已知角有“倍的关系”或“互余互补关系”表示;已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差的代数式。

聚焦3——三角函数图像变换方法

例3 (2017年广东珠海市高三摸底)已 知 曲 线 C1：y=sinx,C2：y=

A.把曲线C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2

B.把曲线C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平个单位长度,得到曲线C2

C.把曲线C1向右平移个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线C2

D.把曲线C1向右平移个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线C2

解析：依据“先周期后相位”或“先相位后周期”的两种思维方法对选择支分别验证。

故选B。

剖析：三角函数图像变换,首先要利用诱导公式将不同名函数转换成同名函数,常用行图像变换时有两种途径：一是先伸缩再平移,二是先平移再伸缩。特别注意：y=Asin(ωx+φ1)到y=Asin(ωx+φ2)的平移单位是Δx=,当Δx＞0时,将y=Asin(ωx+φ1)图像上的点向左平移Δx个单位得到,当 Δx<0时,将y=Asin(ωx+φ1)图像上的点向右平移-Δx个单位得到。

聚焦4——结合三角变换求解三角函数问题

(1)设方程f(x)-1=0在(0,π)内有两个零点x1,x2,求f(x1+x2)的值;

剖析：利用向量数量积的运算和三角变换化归余弦函数,借助余弦函数区间上的对称性简化求值,利用图像变换得到函数表达式,运用整体变量解出其单调区间,凸显了三角函数的工具性、应用性及交汇性。

聚焦5——三角形中的三角变换及最值

例5(2017年第二次全国大联考)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,

(1)求角A;

(2)若a=3,求△ABC面积的最大值。

(2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bc·cosA,且a=3,所以(3)2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc。

因为b2+c2≥2bc,所以3≥2bc-bc,即bc≤3,当且仅当b=c=3时,bc取得最大值。又a=3,故bc取得最大值时,△ABC为等边三角形,此时三角形面积最大值为

剖析：三角形中挖掘隐含条件“三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理”,目标意识下化统一：“边化角”或“角化边”,常常从寻求角的差异入手,合理降元选用公式进行变换,对于最值或范围问题,将目标函数变换——边化角,利用正余弦的有界性求解或者借助余弦定理沟通边满足的关系,运用不等式放缩可得到三角形面积最大值和周长最大值。

热点6——应用正弦定理、余弦定理解决实际问题

例6 (2017年第二次全国大联考)如图1所示,为了测量A,B两处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方

向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为( )。

图1

解析：依据已知的方位角的意义构建一系列的三角形,合理应用正余弦定理求解。如图1,在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,由正弦定理可得202。在Rt△DCB中,∠BDC=45°,所以BD=2CD=402。

在△ABD中,由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=800+3200-2×202×402×=2400,解得AB=206。

剖析：解三角形应用题的方法步骤：(1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的关系。(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型。(3)选择正弦定理或余弦定理求解。(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等。