例谈三角恒等变换的基本原则

■河南省商丘市第一高级中学 翟永恒

三角变换是高考重点考查的一个知识点,在三角求值等问题中有广泛应用。三角公式众多,方法灵活多变,不少同学在解决此类问题时往往不知如何下手。其实对于三角恒等变换只需遵循一些基本原则,然后耐心、细致地变形即可成功解决问题,下面介绍一些经典的变形原则。

一、变“名”

三角变换的主要目的在于“消除差异,化异为同”,而题目中经常出现不同名的三角函数,这就需要变“名”,即化异名函数为同名函数。

分析：解答本题的关键是实施变“名”,即将sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ化成只含有tanθ的式子,从而快速解答。

解：由已知可得tanθ=2。

二、变“角”

在三角化简、求值时往往会出现较多的角,为了便于叙述,我们约定条件中涉及的角为α,待求结论中的角为β。一般地,我们只需要从α,β的和、差、倍数这三个方面来观察即可解决角度变形问题。

1.观察和与差。

2.观察倍数关系。

若已知角与待求角间不满足上述角度关系时,则应当注意观察是否存在着倍数关系。

三、变“值”

在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,从而顺利使用公式进行求解。

例6 求函数y=sinx+3cosx+1的周期及最大值。

分析：要求y=sinx+3cosx+1的周期及最大值,一定要先将三角函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式才能够做出判断,因此将常数写为适当的三角函数值,逆用两角和的正弦公式即可。

评注：逆用两角和的正弦公式化简式子,从而可轻松解答此题。

四、变“次数”

分析题目的结构,掌握题目结构上的特点,通过降次升幂等手段,为使用公式创造条件,也是三角变换中的一种重要策略,常见的降次与升幂公式主要有2sin2αcos2α等。

分析：这道题的分子与分母部分的次数分别是4次与6次,次数较高,不容易下手解答,应当考虑降低式子的次数。

解：因为原式的分子可化为1-(cos2α+sin2α)2+2sin2αcos2α=2sin2αcos2α,原 式 的分母 可 化 为 1-(cos2α+sin2α)(cos4αsin2αcos2α+sin4α)=1-(1-3sin2αcos2α)=3sin2αcos2α,所以原式

在三角函数的学习过程中,我们要注意总结一些常用的解题策略,它们是我们解题的“指南针”,使我们能较为轻松顺利地解决问题。