紧盯关键点,玩转环中环

■河南大学数学与统计学院 何 妍

■河南省商丘市第一高级中学 张志华

一、高考真题展示

2017年新课标Ⅰ理科卷第12题,从应用性的角度考查数列在实际生活中的应用,着实难为了无数考生,成了真正意义上的压阵题。它需要考生在短时间内阅读这么大的信息,抽象出数列模型,理清错综复杂的数列之间的关系,真正考查了考生的分析问题能力、思辨能力、综合分析能力和运算求解能力,要求很高。

题目 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动。这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推。求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是( )。

A.440 B.330 C.220 D.110

解析：由题意可得,数列如下：

1;

1,2;

1,2,4;

……

1,2,4,…,2k-1;

……

本题涉及的数学问题是数列问题,其中既有等差数列的求和问题,又有等比数列的求和问题,更为复杂的是本题设置的数列里边又套有数列的问题。第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断。

功夫在于平时,付出才出成绩。对于上边这道高考难题的考查方式,我们来看一下平时练习中遇见的类似模型。

二、追根溯源剖析

例1 将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律,第10行从左到右的第3个数为 。

解析：该数列第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数,…,第n行n个数,则前9行共有数,即第9行最后一个数为45,所以第10行从左到右的第3个数为45+3=48。

点评：本题需要利用“化整为零”的思想,首先对于每一行数列单独看待,发现其特殊性,再对行与行之间的规律进行总结,把握好衔接的关键点。

例2 数列1,3+5+7,9+11+13+15+17,19+21+23+…+29+31,…的第20项的和为 。

解析：第1项,有1个奇数;

第2项,有3个奇数;

第3项,有5个奇数;

……

第n项,有2n-1个奇数。

设前n项的和为Sn,则S1=1,S2=1+3+5+7,S3=1+3+5+7+9+11+13+15+所以第20项的和为S20-S19=204-194=29679。

点评：本题类似于例1,可以理解为对数列进行分组处理,先发现每组数列的特殊规律,再进行整体处理。同样需要盯着关键点,处理好前后数列的过渡。

点评：本题既类似于前边两个例题,又区别于前边两个例题。它需要我们根据规律进行分组,然后再借助于前边两个例题的解题方式进行求解。

三、趁热牛刀小试

知识在实践中得以巩固,能力在训练中得以加强。懂是会的初级阶段,会是懂的进一步升华。请深呼吸,做好下边这道题吧。

强化训练：已知数列：11,21,12,31,22,13,41,32,23,14,…,依据它的前10项的规律,则这个数列的第2018项a2018等于( )。

A.262 B.163 C.632 D.641

解析：将数列进行重新分组为(11),(21,12),(31,22,13),(41,32,23,14),…,则前n组的项数为1+2+3+…+n=可得n的最大值为63,且,则a2018为第64组的第2个数,故a2018=632。