三角最值变化多端,曲径通幽巧解妙算

■河南省商丘市第一高级中学 杨 涵(指导老师：何茂红)

兴趣是最好的老师,有兴趣才能有激情,才能乐此不疲,才能灵感涌现,从而养成学习的主动性和积极性。在数学学习中,我们要用心发现规律,激发学习的兴趣,才能处变不惊,曲径通幽,成为数学学习的佼佼者。

一、高考真题展示

(Ⅰ)求ω;

(Ⅱ)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图像,求g(x)在最小值。

思路分析：求解第(Ⅰ)问时,利用辅助角公式,先把函数f(x)化成“一角一函数一次”的形式,然后一个方程一个未知数,再根据ω的范围确定ω的具体值;对于第(Ⅱ)问,利用图像变换得到g(x)的具体解析式,从而得到g(x)在具体区间上的最小值。

点评：这类题目是三角函数问题中的典型题目,可谓相当经典。解答本题,关键在于能利用三角公式化简函数,进一步根据函数的性质求解。

二、追根溯源剖析

题源 (课本第147页第10题)已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;

思路分析：化简三角函数的关键在于公式的正确应用,一般规律为：见到平方就想到二倍角的余弦公式;见到正余弦乘积就想到二倍角的正弦公式。

解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2xsin2x)-2sinxcosx=cos2x-sin2x=

(Ⅰ)f(x)的最小正周期T=π。

点评：解答该题的关键在于将已知的函数表达式化为y=Asin(ωx+φ)的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行求解。

三、灵活变式探究

(1)当a＞0时,

点评：一般地,对于形如y=Asin2x+Bsinxcosx+Ccos2x+D的函数,我们要利用二倍角公式化为形如y=asin2x+bcos2x+c的函数,进而化为y=a2+b2·sin(2x+φ)+c的形式,再求该函数在给定区间上的值域或最值问题就比较容易了。

点评：解题时要注意,消元是主题,减少未知数个数是方向。本题就是利用三角函数的平方关系减少未知数的个数,把原函数化为形如y=Acos2x+Bcosx+C的函数,往往把cosx看成一个整体,转化为二次函数在给定区间上的值域或最值问题。

点评：对于形如y=A(sinx±cosx)+Bsinxcosx+C的函数,联系到(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx,通常用换元法将问题转化为二次函数在区间内的最值问题求解。

四、趁热牛刀小试

总结：(1)研究函数的问题,要想到利用函数的性质来研究它,求出了它的单调区间,就知道了函数的大致走势,就可以确定函数的最值(值域)。(2)求三角函数y=Asin(ωx+φ)+h的单调区间,一般要根据复合函数的单调性来求。