论分类讨论思想在高中数学解题中的应用

李志红

（山西省襄汾县实验高级中学，山西 临汾）

一、分类讨论思想的重要性

分类讨论思想是高中解题过程中经常需要运用的思想，如果我们不具备这种思想，就很难在实际解决问题的过程中进行分类讨论，没有进行分类讨论答案自然得不全分数，严重地影响了学生的分数。比如，在解决不等式问题时，如果学生不讨论左右两边的大小问题，就不可能得全分数。

二、分类讨论思想在高中数学解题中的应用

学会分类讨论思想，不仅可以帮助我们更全方位地掌握知识，还可以将自己所学的知识灵活地运用，保证答题时回答出无遗漏的答案，在解题时得到属于自己的分数，让我们的付出与回报成正比，对得起自己所付出的努力。

1.学会划定范围的能力

在高中数学中，许多需要分类讨论的问题都有一定的范围，许多同学不懂得如何划定范围，往往导致在分类环节就受到了阻碍，所以，我们应当通过具体的例题，掌握划定范围的能力。

比如，在解决几何问题中移动点的问题时，有的同学往往不会确定这个点的移动范围，导致分类讨论受阻。这个时候，要结合题目进行分析，一切信息都在题目中，如果题目中没有明确地给出这个点的移动范围，可以通过题目中的其他信息进行计算。通过例题的演示计算过程，理清自己的思路。

对于代数问题，主要问题是不知如何下手，通过例题能够知道如何解题。

例如，|3x+1|+|x|<1这道题，许多同学觉得无从下手。可以先让3x+1=0，x=0，解出这样就将这道题的范围得了出来，整道题讨论的范围都是围绕着和0来进行。

在学习的过程中要有侧重点，要明白分类讨论是得分的第一步，如果连大范围都不会划定，即使掌握了知识点也得不到分数，所以在解答具体问题时，要将重点放在得分的第一项，知识点的讲解应当放在新知识的学习与复习环节。

2.学会大范围分类讨论的能力

在掌握了划定范围的能力之后，一些同学往往不会将范围细分讨论，不清楚如何将范围分类，而教师在讲解的过程中，也很少会涉及为什么这样分类讨论，导致学生在向教师学习解题过程时，仅仅是把分类的问题当成题设进行讨论，缺乏自己进行分类的能力，而导致一些同学在实际的解题过程中出现问题。

例如，二次函数对两根大小的讨论：

x2+（b2+b）x+b2>0这道题，可以先将不等式左边变换为（x+b）（x+b2），让（x+b）（x+b2）=0，可以得出两个根，x=-b，x=-b2，再分类讨论这两个根的大小关系，即：

①当 b>0 或 b<0 时，-b>-b2，解集为{x|x<-b2，x>-b}

②当 b=1 或 b=0 时，-b=-b2，解集为{x|x∈R，x≠b}

③当 0-b2，解集为{x|x>-b2，x<-b}

在分类讨论问题时，也要明白这么分类的原因，如何将大范围分类，依据是什么？训练自己的严谨思维模式，明白什么叫具体问题具体分析，理清解题思路。能在实际的解题过程中学会将大范围分类，并且针对分类逐一地解决问题，最后再进行汇总。

3.培养自身分类讨论的敏锐直觉

许多同学已经掌握了分类讨论思想，但是在实际的解题过程中，仍然忘记使用这个思想，因为对需要分类讨论的习题缺乏一种敏锐的直觉。可以通过多做需要分类讨论的训练题，提升对分类讨论习题的敏感性，还可以将常见的需要分类讨论思想的问题进行总结归纳，知道题目中有可能需要分类讨论的题眼，要肯定自己，因为有些同学不敢确定这道题是否需要讨论，害怕自己出现错误，所以不敢去写。

例如，2x2+bx+2>0，这类需要解出二次根式且含有未知数的不等式，一定要分类讨论b的大小。可以依据Δ=0求出b=4或-4，再通过分别讨论①-4

有些题目一眼看不出需要用到分类讨论思想，所以要让学生在做题时一直保持警惕。比如，这道题求一次函数y=2kx+3k一定经过的象限。可以先通过连等式得到c+b=ak，b+a=ck，c+a=bk，再将这三个等式相加，得到 2（a+b+c）=k（a+b+c），此时就应当注意讨论“a+b+c”是否为零，得出当a+b+c=0 时，k=-1，y=-2x-3，经过二、三、四象限;当 a+b+c≠0 时，k=2，y=4x+6经过一、三、四象限。所以肯定经过三、四象限。

掌握了分类思想，不仅可以提升自己的数学成绩，还可以训练自己的头脑，让自己的思维更加缜密。我们应当针对学习中经常出现的问题，想出相应的对策，解决问题。