数学的根本概念

郎得兰

（甘肃省古浪县第三中学，甘肃 古浪）

中国科学院李邦河院士说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。”在一线教学多年，也深刻体会到概念教学的重要性。数学教学的每一章节开始的概念教学，总叫人头疼，总是花最大的力气，最多的精力，最长的时间。但往往学生对于数学概念遗忘得那么快，特别是经过一段时间后，学生似乎对每个数学概念都得要重新认识，归根结底是学生没有很好地理解数学概念，只停留在表面，或许只是机械地记忆。做题时也只能简单地模仿。一旦稍有变化，就手足无措了。因此我们需要全方位地理解数学概念，才能在数学解题中得心应手，才能不断提高学生的数学能力与思维品质。以下笔者结合在教学中遇到的一些问题，从数学概念的教学与数学概念的运用两方面加以阐述，敬请各位同仁斧正。

一、数学概念教学重在理解

比如在导数的概念教学中，我们在学生初步掌握导数定义的基础上，要让学生能够用自己的语言精确地描述导数的定义，进而深入理解导数的概念。我们要从三个关键点入手：第一个关键点是对定义中区间（a，b）的理解；第二个关键点是对式子的理解；第三个关键点是要趋近于一个“常数A”。尤其是第二个关键点，我们要特别关注，一是要注意等式右边的结构特征，这是一个关于平均变化率的结构，这种结构类型我们可以与函数的单调性或＞0）的定义来进行对比学习，把这两种关系联系起来，有助于学生理解平均变化率。二是在式子中，Δx是一个变化的量，既可以从大到小，也可以从小到大，也就是说这个不一定就是正数，如果从左面递进，那它也可以是一个负数，不论平均变化率如何上下波动，导数的值同样是一个常数，也就是定义中的常数A。

学生有了对导数概念的深入理解后，在导数有关的题目解答中，才能随机应变。

二、数学解题的关键是概念

利用数学概念解题，可以深化理解概念，缩短解题过程，提升数学能力，优化思维品质，开发学习潜能。

A是奇函数，且在R上是增函数

B是偶函数，且在R上是增函数

C是奇函数，且在R上是减函数

D是偶函数，且在R上是减函数

点评：本题考查了奇函数、偶函数的定义以及如何判断一个函数的单调性。本题关键是要熟知奇偶函数与单调函数的定义，只有掌握了定义，才能够解答题目。

每个数学概念都有其深刻严谨的思想内涵，是构建数学大厦的基础。近年来高考试卷也很好地考查了数学概念，设计数学概念的考题清楚明了，又有一定的深度。由此，在平常的教学中，应该重视概念教学，这会让我们不断丰富自己的知识架构，并能通过本质思考更深的现象。

三、高考数学的根源是概念

近年来，高考数学摒弃了“偏、难、怪”，解法也杜绝“绝、冷、超”，试题更平稳，更加注重课本，课本中的基本概念是高考试题的源头，是考生取得理想成绩的源头，脱离了课本概念追求能力培养与核心素养的提升就是无源之水、无本之木。

例2（.2018全国2卷22题）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线 l的参数方程为t为参数）.

（1）求C与l的直角坐标方程。

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求直线l的斜率。

解析：本题考查坐标系与参数方程的基本数学概念，第（1）问考生通过消参的方法很容易就能拿下，要注意直线的直角坐标方程要看是否存在斜率，本题通过cosθ是否为零来讨论；第（2）问是常规的相交弦或者中点弦问题，利用设而不求的基本方法就可以求出直线的斜率，不过要求考生要熟练掌握运算方法，尤其要理解参数的几何意义，这样运算就更加简单明了。

这只是高考真题的一例，纵观近年的高考试卷，每一个试题都可以追溯到一个熟悉概念，甚至多个熟悉概念，例如常考的数学概念有：复数、集合、函数、向量、圆锥曲线、数列、概率等。每一个题目的考查万变不离其宗，这就要求我们老师在平时教学中，要对教材进行充分的钻研，对课本中的概念、例题、习题慢慢体会，仔细琢磨，领会专家编写教材的意图，进一步促进学生思维能力的培养与提高。

数学知识的起点是数学概念，数学概念就是数学的本质，它是学习数学的基础，解决数学问题都应该从正确理解数学概念出发，抓住概念的本质，这样才能帮助我们更好地制订解决问题的策略，教学中紧紧抓住数学概念的来龙去脉，才能提升学生的理解能力，也有助于我们提升课堂教学的有效性。