题析分类讨论在初中不等式中的应用

卢慧娟

（广西壮族自治区柳州市第十一中学，广西 柳州）

树立分类讨论思想的意识，就是要使学生把一个不明确的数学问题分解成几个可以确定的小问题，然后逐一进行研究和解决，综合这几个小问题的结论，再次研究分析，最终得出原题的答案。在人教版七年级数学下册关于不等式的教学中，分类讨论思想在概念的理解、方案设计等问题中均有所渗透，下面对分类讨论思想在不等式中的应用的题目进行如下分析。

一、概念的理解在不等式中的应用

在人教版七年级数学上、下册的教材中，涉及数学概念的问题，如下一例：

例1：求关于x的不等式xm2-3-2≥m的解集。

这道题跟指数有关，x的指数只能取值1，所以得到m2-3=1，解得 m=±2

由此，原不等式的解集可分两种情况：

m=2时，x-2≥2，不等式的解集为x≥4

m=-2时，x-2≥-2，不等式的解集为x≥0

上例属于数学概念在不等式中的应用研究。解题关键在于，对系数和指数的理解要达到熟悉掌握的要求，这类题型对训练学生的发散思维也有一定的作用。例1还可变式为绝对值的应用，如：把m2更换为，同样的可解出m有两个值，然后再分两种情况讨论，最后得出结果。

二、方案设计在不等式中的应用

第一类是通过两种方案的比较，分类讨论得出比较所得的三种情况（如：A与B一样、A高于B、A低于B），分类比较三种情况得出的结论再分别进行分析。

例2：某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠办法：一种是购买一只茶壶送一只茶杯；另一种是按总价的92%付款。现有一顾客需购买4只茶壶，若干只（不少于4只）茶杯，选哪一种优惠办法购买最省钱？

设购买茶杯x只，依题意

方案一可列式为 4×20+5（x-4），整理得 5x+60

方案二可列式为 92%×（20×4+5x），整理得 4.6x+73.6

两种方案进行比较，分为以下三种情况：

第一种：方案一的花费等于方案二的花费，可得式子

5x+60=4.6x+73.6，解得 x=34

因此，购买的茶杯数为34只时，两种方案的花费一样。

第二种：方案一的花费高于方案二的花费，可得式子

5x+60＞4.6x+73.6，解得 x＞34

因此，购买的茶杯数超过34只时，选择方案二最省钱。

第三种：方案一的花费低于方案二的花费，可得式子

5x+60＜4.6x+73.6，解得 x＜34

因此，购买的茶杯数低于34只时，选择方案一最省钱。

例2这类题型的方案通常由题目已给出，一般都是两种方案。对于题目给出的两种方案，解题方法是先根据方案列出式子，然后再分成“一样、高于、低于”三种情况来讨论，得到的结果是根据不同的情况，作出不同的选择。

第二类是依据题目条件，求出相关的量的取值，通过这个取值来分类讨论选择最佳方案的问题。

例3：学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量为45人，乙种客车每辆载客量为30人。已知租用1辆甲种客车需租金400元，租用1辆乙种客车需租金280元。学校现计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？

设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车（8-x）辆，依题意可列不等式为 45x+30（8-x）≥330，解得 x≥6。

由于甲、乙两种客车共8辆，即6≤x≤8，所以x的取值为6，7，8。

故有如下三种方案：

第一种：当 x=6 时，租车费用为 400×6+280×2=2960（元）

第二种：当 x=7 时，租车费用为 400×7+280×1=3080（元）

第三种：当 x=8 时，租车费用为 400×8+280×0=3200（元）

所以，当x=6时，租车费用最少。

这类题型的方案通常根据题目条件，求得相关的量的值，再依据这个值来确定方案可行性的种类，最后根据种类的多少来选择最优方案。与例2的不同在于，它们的结果表现形式不同：例2是一种情况对应一个结果，三种情况对应三个结果，而且只有三种情况；例3则是由相关的量确定所有方案的可能性，并且最终的结果是在这所有的方案中只选择一个最优的。