浅谈函数思想在高中数学解题中的应用

2018-02-24景宗颖

新课程(中学) 2018年8期

景宗颖

（山东省莱芜市第一中学，山东莱芜）

函数思想对高中生解题起到十分重要的作用，它是帮助高中生解题的有效工具。但在实际学习过程中，学生普遍缺乏对函数思想的认识，甚至将其与函数知识相混淆，最终导致解题思维受到局限。对此，学生应当提高对函数思想的重视，加大对函数思想的学习力度，以此来更好地认识函数思想。

一、函数思想相关内容综述

（一）概念

函数思想的概念可以从三个方面进行了解，第一点是指通过科学利用函数相关性质来解决函数问题；第二点是通过转换思想来分析与解决函数变量之间的关系问题；第三点是对一些高中数学中看似并非函数的问题，可以通过一系列思维的转化最终变成函数问题，以此实现对问题的变向分析处理。从整体上讲，函数思想实际上就是利用函数知识与性质，将复杂的数学问题转化为简单问题的一种思维。

函数思想是现代高中十分重要的解题方法，它甚至在大学都有十分广泛的应用，德国数学家菲利克斯就曾指出，函数思想是数学的灵魂，它始终贯穿于数学知识当中。因此，当人们学习数学时，应当有意识地了解函数思想，以此来提高自身的数学建模能力，达到更好的数学解题效果。

（二）性质

人们经过漫长的摸索与研究后，最终形成了一种系统的数学解题思维，这便是函数思想的形成过程，数学知识之间存在着千丝万缕的联系，数学家在研究过程中发现这些知识点拥有共同属性，因此在经过不断的归纳总结之后，利用最简洁的公式将这种共同属性表达出来，即为“已知+未知+规定思想”。“已知”为已经存在的客观条件，即定量；“未知”为存在但未被证实的客观条件，即变量，而“规定思想”则是指人们在运算过程中掌握的事物特定规律，这种规律能够帮助人类快速地解决数学问题，进而达到更加良好的解题效果。

二、函数思想在高中数学解题中的应用

（一）在不等式中的应用

不等式是高中数学知识的重要组成部分，它涉及正负区间、单调性的问题。在没有正确解题方法的引导下，我们想要进行不等式证明需要花费大量的时间，且步骤繁琐，利用函数思想来解决不等式问题，可以帮助我们快速地明确解题方向。

例如，b2+ab+3＞4b+a恒成立，且 a的取值范围为 0≤a≤4，求b的取值范围。该道题中a的取值范围已确定，若想求得b的取值范围，不妨将不等式转化为函数方程式，即y=（b-1）a+b2-4b+3，这就相当于将原题中的数值全部都转移到一边，并利用y来代替这些数值间的关系，最终得出y＞0恒成立的条件，在此基础上将a=0与a=4两个值带入，我们就可以轻易地求得b的取值范围。

（二）在高中数学方程中的应用

在高中数学体系当中，函数与方程之间存在着密不可分的关系，因此利用函数进行方程求解是一种十分可行的方法。我们在解题前，首先要利用函数思想看待问题，分析方程中各变量之间的关系，使难题能够被顺利解决。

例如，在方程（x-m）（x-n）=2中，方程拥有两个根，两个根分别为 a、b，且满足 a＜b，m＜n 的条件，求 a、b、m、n 四个实数之间的大小关系。初看这道题时，我们可能会被题中的各种字母弄混，此时，我们可以通过利用函数思想，将原方程设置成为函数方程式f（x）=（x-m）（x-n）-2 以及 g（x）=（x-m）（x-n），在此基础上进行解答就会容易很多。

（三）在高中数学数列中的应用

数列是高中数学中的一个难点问题，我们在解题的过程中经常需要花费大量的时间，为了节省时间，有些同学甚至将数列间的规律转化为公式背诵，这虽然在一定程度上保证了解题的正确性，却无法形成数学解题思维，也缺乏对题目的灵活判断。对此，我们可以将数列问题转化为函数解析式，在此基础上结合数列“通过自变量得到离散数值”的解题思想，达到更好的解题效果。

例如，在等差数列｛an｝中，前 n 项和 Sn=An2+Bn，a1＞0 公差 d＜0，求前n项和的最大值。我们可以把前n项和看成是关于n的二次函数，通过二次函数求最大值来求数列的最值。如此一来，等差数列问题就被转换成二次函数问题，使题目的内容更加具象化，更方便学生解答。