解题教学要注重渗透数学思想

戴彭晴 张 楠

（合肥市第七中学，安徽 合肥）

一、提出问题

设函数f（x）=ex-ax-2.

（1）讨论f（x）的单调区间（解题过程略去）；

（2）若f（x）+2＞0在（0，e］上恒成立，求a的取值范围.

二、分析问题

可将不等式f（x）+2＞0具体化为ex-ax＞0，问题就变成“若exax＞0 在（0，e］上恒成立，求 a的取值范围.”

三、解决问题

方法一：分离参数法（转化思想）——将a单独放在不等号左边，其他项挪到不等号右边并令之为新函数 g（x），x∈（0，e］，则题意转化成 a＜g（x）在区间（0，e］上的最小值问题，我们只需求出 g（x），x∈（0，e］的最小值即可.

【解】∵ex-ax＞0 在（0，e］上恒成立

令g′（x）＞0得x＞1，即g（x）在（0，1）上递减，在［1，e］上递增

∴g（x）min=g（1）=e，因此 a＜e

方法二：构造法（分类讨论思想）——将不等式恒成立问题转化成函数最小值大于零的问题，还是去求函数最小值即可.

【解】令g（x）=ex-ax，x∈（0，e］，则g′（x）=ex-a，x∈（0，e］

令g′（x）=ex-a＞0

当a≤0时，g′（x）＞0在（0，e］上恒成立，即g（x）在（0，e］上递增，g（x）min＞g（0）=1＞0 成立；

当 a＞0 时，g（x）在（0，lna）上递减，在［lna，e］上递增，g（x）min=g（lna）=a-alna

要使 g（x）=ex-ax＞0 在（0，e］上恒成立，必 g（x）min=a-alna＞0，解得 0＜a＜e

综上所述a＜e.

方法三：图象法（数形结合思想）——利用函数图象之间的关系做决策.

【解】∵ex-ax＞0 在（0，e］上恒成立

∴ex＞ax 在（0，e］上恒成立

如图所示，要保证在区间（0，e］上

g（x）=ex的图象始终在 y=ax 的上方

必有 a＜a1

设y=a1x与f（x）=ex相切于点P（x0，ex0）

则a1=g′（x0）=ex0

∵切线方程为y-ex0=ex0（x-x0）

∵ 切线过 O（0，0）

∴0-ex0=ex0（0-x0），得x0=1

∴a1=e

从而 a＜e

本题还有其他解法，介绍的三种比较有代表性，用来解题相对容易，可以帮助学生举一反三。教师在进行解题教学时应该多向学生介绍不同方法，教会学生从不同角度审视问题，拓宽思维，渗透思想。

作者简介：戴彭晴，女，1987，汉，安徽合肥人，本科，中二，研究方向：高中数学教学。张楠，男，1987-07，汉，安徽蚌埠人，本科，中二，研究方向高中数学教学。