浅谈因式分解

（盖州市矿洞沟学校 辽宁营口 115208）

因式分解是整式乘法的逆运算，是重要的多项式变形，因式分解是解高次方程的重要方法，类比小学阶段的分解质因数，学生对因式分解的概念不难掌握，但是在解题过程中容易分解不彻底，或者不会分解，根据我在教学过程中的经验，本文主要谈谈因式分解时学生容易犯的错误和初中阶段因式分解的一般方法。

一、因式分解的形式

多项式=式子1×式子2×式子3×…×式子n（式子是整式）

例1：因式分解xn+1-xn-1

错解：xn+1-xn-1=xn（x-x-1）， x-1是分式，不是整式

正解：xn+1-xn-1=xn-1（x2-1）= xn-1（x+1）（x-1）

二、提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。找出各项的公因式，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母， 且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，且多项式的次数取最低的。约数如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

例2：6x2y2z-4xyz2+2xyz =2xyz（3xy-4z+1）

三、公式法

1.平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）公式中的字母a、b既可以用数或字母代替，也可以用单项式或多项式代替。只有平方项a2和b2符号相反才能用平方差公式分解，例如多项式-x2-1不能用平方差公式分解。

例3：4x2y2-z2=（2xy）2-z2=（2xy+z）（2xy-z）

例4：-25a2+49b2=-（5a）2+（7b）2=（7b+5a）（7b-5a）

如果有两项分别可以写成两个整式的平方的形式，而且平方项的符号相反，这时要考虑用平方差公式分解因式。

2.完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2项数为三项，其中两个项可以写成平方的形式，第三项为乘积的2倍，这时用完全平方公式。平方项符号必须相同，比如-x2+4xy-4y2平方项x2和4y2符号相同都为负，所以可以提出“-”号，再分解。

例5:9mn2-12mn+4m=m（9n2-12n+4）=m（3n-2）2

例 6：4（2a-b）2-9（2a+b）2=〔2（2a-b）〕2-〔3（2a+b）〕2=（4a-2b+6a+3b）（4a-2b-6a-3b）=（10a+b）（-2a-5b）

3.立方和公式：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）、立方差公式：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）；

例6：8x3-y3=（2x-y）（4x2+2xy+1）

分析:如果一个多项式的各项含有公因式，就先提公因式，然后再进一步分解，直至不能再分解为止。

有些计算题，虽然属于单纯的数字计算，但是按一般步骤进行，不仅计算麻烦，且易出错，若能利用因式分解的方法，先因式分解，再计算，就可以大大地简化运算过程。

运用公式法分解因式的思路是：

（1）当多项式只有两项时，若各项的指数都是2的倍数且二次项系数异号时，可考虑用平方差公式。

（2）当多项式有三项时，可以考虑用完全平方公式加以分解。

四、分组分解法

运用分组分解法的关键是熟悉以上两种分解方法的基础上对多项式进行正确的分组，然后再利用提公因式法或公式法分解。能分组分解的多项式有四项或六项或大于六项

二 二 分 法：ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by） =a（x+y）+b（x+y） =（a+b）（x+y）

三 一 分 法：2xy-x²+1-y²= -x²+2xy-y²+1= -（x²-2xy+y²）+1= 1-（x-y）² = （1+x-y）（1-x+y）

例6：x2+2xy+y2-2x+2y+1=（x-y）2-2（x-y）+1=（x-y-1）2

例7：1-x2+4xy-4y2=1-（x2-4xy+4y2）=1-（x-2y）2=（1+x-2y）（1-x+2y）

五、特殊方法

1.换元法。换元法就是把多项式的某部分换成新元，从而使多项式的数或式的关系明朗化，把一个复杂的多项式转化为容易分解的多项式。

例7：分解因式（m2+8m+7）（m2+8m+1）+9

这个题目按照一般做法是先把两个多项式相乘，合并同类项，就会得到一个四次多项式，用基本分解法就难以分解。观察这两个多项式都有m2+8m，可把m2+8m看成一个数y，于是原多项式可转化为（y+7）（y+1）+9=y2+8y+16，而y2+8y+16是一个二次三项式，可以用完全平方分式分解。

2.拆项、添项。拆项、添项都是把多项式转化为能提公因式或运用公式分解。

例8：m3-3m+2=m3-1-3m+3（把2拆成-1+3）

=（m3-1）-（3m-3）（拆项后能运用公式）

=（m-1）（m2+m+1）-3（m-1）（提公因式）

=（m-1）2（m+2）

例9：x4+4=x4+4x2-4x2+4（添4x2再减4x2）

=（x2+2）2-4x2（平方差公式）

=（x2+2-2x）（x2+2+2x）

多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形，是处理数学问题的重要手段和工具。因式分解在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分重要的作用。