移动区域中的电场问题的研究

2018-02-15刘小妹闫述涛

中国传媒大学学报(自然科学版) 2018年6期

刘小妹，闫述涛

(中国传媒大学理工学部，北京 100024)

1 引言

电磁推进系统是以导轨和电枢为主要组成部分，通过对导轨两端施加电压，使导轨内产生电流，在电流和导轨间磁场的共同作用下，进而产生作用在电枢上的洛伦兹力，通过洛伦兹力对电枢的作用来加速抛体运动的装置。移动过程中，导轨与电枢接触面随时间变化，导致电场、电流也随之变化。求解问题模型如图1，其中最外层是空气层，中间为两条导轨，导轨中间是滑动的电枢，在导轨两端通电，由导轨与电枢构成一个闭合回路。

2 理论模型

在求解区域中，我们将在两个导轨上分别添加适当电压，我们通常给予150V和-150V的电压，利用磁矢量A和标量电位u表示的麦克斯韦方程来求解电场与磁场的分布。已知麦克斯韦方程的微分形式为

图1 电磁轨道推进系统模型

(1)

又有

D=εE，B=μH，J=σE

其中，H：磁场强度；J：电流密度；D：电位移；E：电场强度；B：磁感应强度；ρ：自由电荷体密度；μ：磁导率；σ：电导率；ε：介电常数，这里我们忽略电位移的影响，将问题简化为涡流方程，那么(1)式变为：

(2)

因此，涡流场方程可以从(2)式中导出，选择磁矢量A和标量电位u组成的电磁位对，将含有运动电枢的麦克斯韦方程组变换为：

▽·(-(σ▽u))=0

(3)

(4)

(3)式和(4)式可以视作涡流场控制方程的统一形式。在图1中，在导轨和电枢及导轨间的空气中需要描述电场和磁场，因此(3)式和(4)都需要用到，而在最外空气层中，只需描述磁场即可，因此我们只需要用到(3)式。

在忽略了电位移的影响下，问题中还涉及到边界的问题，我们需要处理好在边界上电场与磁场的条件，我们设在边界上：

n×A=0

(5)

n·J=0

(6)

式中n为交界面的法向量。另外，为了保证磁矢量解的玩唯一性，我们还要满足库仑规范条件：

▽·A=0

(7)

满足(3)、(4)式之后，我们还需考虑一个问题，电枢的运动是一个瞬时问题，电枢随着时间变化而移动，我们需要确定电枢运动的轨迹。前面有文章采用的是主丛匹配法，这里，我们利用电导率的不同来确定电枢在导轨间的位置。在两个导轨之间，存在着电枢和空气，电枢和空气的电导率是不同的，在模型中，电枢我们采用的是铝，铝的电导率为3.77×107(S/m)，而空气的电导率为1.0(S/m)，我们通过在导轨间不同时间、不同位置电导率的不同，就可以很容易的判断出不同时间下电枢的位置，我们取如下函数表达式作为两导轨之间相同时间下不同位置电导率：

σ=σ_air+σ_al*e-100*(|x-x0|>(L/2))*(|x-x0|-(L/2))

(8)

其中σ_air是空气的电导率，σ_al是铝的电导率，L是电枢的宽度，x是导轨间位置坐标，x0是电枢的中心点坐标。随着时间的变化，坐标产生变化，从而两道轨之间不同位置电导率发生了变化，因此就可以确定电枢移动的位置。

3 有限元分析

为了便于计算我们只考虑在导轨、电枢以及导轨之间的空气中的电场问题，并且只需要考虑(3)式，因此为了便用于仿真模拟软件的执行，需要通过变分形式，取试探函数v(x)，我们将(3)式改写成弱形式：

(-σ▽u，▽v)=0

(9)

并且在两条导轨上，设置边界条件为一条导轨上通入150V电压，另一条导轨通入-150V的电压。这样，我们就可以对该模型进行仿真模拟分析。

4 数值实验

利用仿真模拟软件对电磁轨道推进系统进行模拟，首先是对电场的动态变化的分析，为了简便运算的复杂程度，我们取导轨的长度为1，电枢的宽度L为0.04，电枢的中心x0=0.02，选择让电枢每个时间单位移动半个电枢的长度，图2、图3为动态模拟结果。

通过模拟结果，我们可以看出，随着时间的推移，电压随着电枢变化而变化，导轨所在的位置即电压达到的位置，并且在电枢初始未与导轨接触时和电枢弹出时，整个导轨电压达到顶端。同样，电流也是随着电枢的移动而变化，在导轨上电流总是从高电压流向低电压，并且电枢处的电流相对于导轨上的电流较小，也同样，在电枢初始状态未与导轨接触时和电枢弹出时，电流也随之消失。