素环Jordan理想上的右(θ,φ)-导子的研究

(吉林师范大学数学学院，吉林 长春 130000)

0 引 言

Bell和Kappe[1]证明了，若d为R上的导子，在R的非零右理想上作为同态或反同态，则d=0.Ashaf[2]将结论推广到了(σ,τ)-导子，Rehman[3]进一步研究素环非零理想上广义导子作为同态或反同态.Asma[4]进一步研究素环非零Jordan理想上广义(θ,θ)-导子作为同态或反同态.进一步研究了素环非零Jordan理想上右(θ,φ)-导子作为同态或反同态的结果.

1 预备知识

设R为结合环.对任意的a,b∈R,若由aRb=0,必有a=0或b=0, 则称R为素环.如果环R为2-扭自由的，则对任意的a∈R，若2a=0，则必有a=0.设R是环,d:R→R是加性映射.若对任意的x,y∈R,满足：d(xy)=d(x)y+xd(y),则称d是R上的导子.若映射σ:R→R满足：(1)σ(x)⊆R,x∈R;(2)σ(x+y)=σ(x)+σ(y),x,y∈R;(3)σ(xy)=σ(x)σ(y),x,y∈R,则称σ为R的自同构．设R是结合环,g:R→R是加性映射,θ,φ是R上的自同构. 若对任意的x,y∈R, 满足g(xy)=g(x)θ(y)+φ(x)g(y) , 则称g为R上的(θ,φ)-导子. 设R是环，I⊂R是R的可加子群，若对任意的r∈R，a∈I均有ra∈I，ar∈I，则称I为R的理想.∀x,y,z∈R，有[x,y]=xy-yx； [xy,z]=x[y,z]+[x,z]y； [x,yz]=y[x,z]+[x,y]z.

2 主要结果

引理1[4]: 若R是素环，J为R的非零Jordan理想.对于任意的a∈R，如果aJ=0(Ja=0)，则a=0.

引理2[4]: 若R是2-扭自由素环，J为R的非零Jordan理想.对于任意a,b∈R，如果aJb=0，则a=0或b=0.

定理1：R为2-扭自由素环，J是R的非零Jordan理想，J也是R的子环，设θ,φ在R上是自同构的，d是R上的右(θ,φ)-导子.

(i)d作为同态在J上，则d=0.

(ii)d作为反同态在J上，则d=0.

证明：

(i)由于d在J上满足同态，有

d(u)d(v)=d(uv)=d(v)θ(u)+d(u)φ(v),∀u,v∈J在(1)用wu换u有

(2) d(w)d(u)d(v)=d(v)θ(w)θ(u)+d(w)d(u)φ(v), ∀u,v,w∈J.

对(1)左乘d(w)有

(3) dwd(u)d(v)=d(w)d(v)θ(u)+d(w)d(u)φ(v)， ∀u,v,w∈J.

由(2)(3)知d(v)θ(w)θ(u)=d(w)d(v)θ(u)，∀u,v,w∈J.

又可得 (d(w)d(v)-d(v)θ(w))θ(u)=0，∀u,v,w∈J.

又由(1)知d(w)φ(v)θ(u)=0， ∀u,v,w∈J.

又可得φ-1(d(w))Jφ-1(θ(u)=0，∀v,w∈J.

由引理1知d(J)=0或J=0 .

因为J≠0 所以 (4)d(J)=0 .

由(4)中用wr+rw换J并结合(4)有

0=d(wr+rw)=d(r)θ(w)+d(r)φ(w)=0,∀w∈J,∀r∈R.

在(5)中用wu换u有

(6) d(r)θ(w)θ(u)+d(r)φ(w)φ(u)=0,∀u,w∈J,∀r∈R.

对(5)右乘θ(u)有

(7) d(r)θ(w)θ(u)+d(r)φ(w)θ(u)=0,∀u,w∈J,∀r∈R.

由(6)(7)知 d(r)φ(w)φ(u)=d(r)φ(w)θ(u),∀u,w∈J,∀r∈R.

又可得 d(r)φ(w)(φ(u)-θ(u))=0,∀u,w∈J,∀r∈R.

即φ-1(d(r))Jφ-1(φ(u)-θ(u))=0,∀u∈J,∀r∈R.

由引理2知d(r)=0 或φ(u)-θ(u)=0,∀u∈J,∀r∈R.

如果d(r)=0,∀r∈R，即d=0 即为所证结果.

如果φ(u)-θ(u)=0,∀u∈J.

由(5)知2d(r)θ(w)=0,∀w∈J,∀r∈R.

因为R是2-扭自由的.

所以 d(r)θ(w)=0,∀w∈J,∀r∈R.

又可得θ-1(d(r))J=0,∀w∈J,∀r∈R.

由引理1知 d(r)=0,∀r∈R，即d=0 即为所证结果.

(ii)由于F在J上满足反同态，有

(8)d(v)d(u)=d(uv)=d(v)θ(u)+d(u)φ(v),∀u,v∈J.

在(8)用vv换v有

(9) d(v)d(v)θ(u)+d(u)φ(v)φ(v)=d(v)d(v)d(u),∀u,v∈J.

对(8)左乘d(v)有

(10) d(v)d(v)θ(u)+d(v)d(u)φ(v)=d(v)d(v)d(u),∀u,v∈J.

由(9)(10)知

d(u)φ(v)φ(v)=d(v)d(u)φ(v),∀u,v∈J

即 (d(v)d(u)-d(u)φ(v))φ(v)=0,∀u,v∈J

由(8)知 d(v)θ(u)φ(v)=0 ,∀u,v∈J.

又可得θ-1(d(v))Jθ-1(φ(v))=0 ,∀v∈J由引理2知 d(J)=0 或J=0 .

因为J≠0 所以 d(J)=0 .

由(i)的证明过程可知d=0.

故命题得证.

3 结 语

研究了在素环非零Jordan理想J(且J是R的子环)上的右(θ,φ)-导子d作为同态或反同态时，有d=0时，把(θ,φ)-导子的相关结果推广到了右(θ,φ)-导子上，对进一步研究是很有帮助的.