洞悉学生困惑 合理布施教学*——对“完全平方公式”一课的分析与思考

☉山东省淄博市周村区王村中学 郑学涛

预设教学活动离不开对所授数学知识特点的熟悉、学生学情的掌握和学生学习过程中潜在困惑的预判三方面，要使学生积极、主动、富有个性地学习，教师要将以上三方面统筹考虑，从而设置整体的、系统的、由浅及深的情境.近日，笔者应邀参加本区“青蓝结对”工程阶段性成果的验收——新教师展示汇报课的评价工作，在听课和学习的过程中，对新教师所授“完全平方公式”一课时的教学预设与实际操作产生一些想法，并由此引发了笔者对教师如何洞悉学生的困惑并合理布施教学进行深入思考.现将自己的思考撰写成文，与读者交流.

一、环节展示及评析

展示汇报的8名新教师中，有6人是按照鲁教版教材的编排顺序讲授新课，即先让学生观察图形，然后通过不同方法表示图形面积，第一次得出完全平方公式，最后是强化变式训练，时长约25分钟.这些变式训练都体现出一定的螺旋上升性，如第一组为利用公式直接进行计算：（1）（2a+b）2，（2）（4x-5y）2，b）2；第二组为利用完全平方公式进行简便计算：（1）982，（2）1022；第三组为课后练习带“*”的习题：（1）（a+b+c）2，（2）（a-b+c）2.还有2名新教师为学有余力的学生准备了一道思考题：已知的值.

从课堂呈现的内容来看，新教师为本次证明自己能力的课“预设”丰富、准备充分，已经将学生日后可能遇到的所有类型的题目全部涉猎，但从实际效果来看，前松后紧的课堂致使学生的体验并非如新教师预设的那样精彩.据笔者观察，一开始部分学生对于从面积相等中得出的完全平方公式有强烈的陌生感，而进入解题训练之后，又有一部分学生困惑于字母系数到底应不应该平方、中间项的符号是加还是减等细节问题.课后笔者随机对一些学生进行了口头调查，学生大都提出一些同样的问题，这些问题经笔者整理如下：第一，课堂开始为什么要用计算图形面积的方式探究完全平方公式？第二，探究所得公式中的字母是a和b，为什么在计算时字母换成了x、y或者其他，是否还能够适用？第三，为什么要提出完全平方公式？它与整式乘法的关系是什么？第四，什么样的问题适合利用完全平方公式解决？这些问题成为笔者日后深度反思本节课的出发点，教师像保姆一样为学生准备的无一遗漏的题型盛宴在学生那里不受欢迎，这种教师将“生饭”给学生“吃”的课堂仍然带有浓重的“填鸭式”味道.

二、问题分析

解题困惑是指在解决问题的过程中遇到的阻碍，由于问题尚未解决之前，学生缺乏相关的经验，对知识、技能尚未牢固掌握，那么学生难以用规范的数学语言表述出内心的委屈也就情有可原了，此时教师就要通过学生的面部表情及书写的蛛丝马迹及时洞悉学生的困惑，帮助学生提出问题、分析问题并最终解决问题.经过一段时间的思考，笔者总结出与学生四点困惑相对应的四个教学方面的问题，如果教师的教学预设能够解决好这四个问题，就能彻底解决学生的困惑.

1.是否应该借助几何直观发现公式

所谓“几何直观”，就是在研究过程中，能够根据看到的或想到的几何图形产生对数量关系的一种直观感受.新授课中，教师首先让学生观察图形，然后设计后续问题引领学生用两种方式表示图形的面积，最后由学生得出完全平方公式，这样的设计本身没有问题，但是出现的位置非最佳，这个环节与接下来的利用公式直接进行计算也并非最佳结合点，才会导致学生困惑于计算面积与公式本身及公式的得出与之前的整式乘法有什么关系两个问题.美国数学家阿蒂亚说：“在几何中视觉思维占主导地位，在代数中有序思维占主导地位.”本节课的教学目标是完全平方公式，是代数内容，因此教师设计教学活动时应该以有序思维为主线，首先，让学生感受公式的存在（设计好知识的生长点与延伸点），然后证明其正确性.而课堂中利用两种方式表示面积是依托几何直观，而非本节课的教学目标，它只是为学生创造一个主动验证公式正确性的情境和策略，帮助学生理解和接受抽象的公式，的确非发现公式存在、解释代数关系的最佳替代物，新教师的作法容易将学生的注意力聚焦在几何直观上，增加了学生的认知负荷和心理投入，喧宾夺主，不宜于本节课主题的展开，为此，最好的开始还是让学生按照已学习的整式的乘法公式计算（a+b）2、（a-b）2、（x+y）2、（x-y）2四个式子的结果，然后观察结果的共性，最后从书写形式上得出两个公式.而几何直观则用作对公式的演绎推理，因此利用面积验证公式作为课堂的第二个环节为宜.

2.字母表示数之后还能表示什么

知识教学具有三个不可分割的组成部分，第一是符号表征，是指人类关于世界认识所达到的程度或者状态，即“关于世界的知识”；第二是逻辑形式，是人类认识世界的方式，具体包括知识构成的逻辑过程和逻辑思维方式；第三是意义，指知识内促进人的思想、精神和能力发展的力量.在“完全平方公式”这一课时的教学中，发现公式并直接进行计算是完成了知识教学的符号表征部分，根据算理灵活处理才上升到逻辑过程和逻辑思维的部分，即对于完全平方公式的学习，学生不只局限于拥有字母表示数的思维，字母表示数只是代表了一般计算程度，更重要的是公式的逻辑形式和意义.而想要学生具备对于公式的深层逻辑形式和意义的理解，还要教会学生站在数学的角度看公式的广泛应用，为此，教师要用一贯的数学眼光引导学生理解公式的内涵，类比an中的a可以表示具体的数，也可以表示单项式ab（积的乘方），更可以表示多项式a+b、a+b+c，而（a-b）2可以看作［a+（-b）］2，这样有效地避免了利用公式时因字母符号变化而带来的计算困惑，间接培养了学生的符号意识.也终将把公式的广义使用价值传递给学生——（△+○）2=△2+2△×○+○2，其中△+○有多种形式，不仅仅是单个的数、字母，还可以是多项式，也就不会导致学生解题时困惑于中间项的符号及变换字母的问题了.而且教材在这一课时的最后提供了杨辉三角的阅读内容，教师在学生得出字母还可以表示字母串的基础上引导学生自行阅读，供有兴趣的学生继续探究，用数学文化陶冶学生的数学情怀，也能避免纯粹的变式训练对学生情感的消极影响，一举多得.

3.完全平方公式的价值是什么

价值是教育与教学的追求，是表示客体的属性和功能与主体需要间的一种效用、效益或效应关系的范畴，为此，要让学生明白完全平方公式存在的价值，才能使学生合情合理地利用公式，进行快速计算，完全平方公式的价值就是使计算简便.在日常教学中，经常看到该使用完全平方公式时学生没有使用，更加糟糕的是，这些学生亦不能按照多项式乘多项式的法则进行计算，究其原因，学生学习的知识都是片段性的存在，缺少连贯性，缺少以价值为纽带的数学眼光，才导致学生如同黑熊掰玉米，掰一个丢一个.如在几位新教师的课中，均未提及整式的乘法与完全平方公式的关系.如果新教师在利用公式进行计算的环节就把班内的学生分成两批，一批利用完全平方公式计算，另外一批利用乘法公式进行计算，并记录两批学生计算所用时间，然后让学生对比利用完全平方公式和利用乘法公式哪个更省力更省时，那么完全平方公式的价值就凸显出来了，公式与之前学习的多项式乘多项式也能统一起来，这样即使学生忘记了完全平方公式，但只要知道公式是一种简便运算方法，那么也会选择多项式乘多项式的法则进行计算.而在变式训练环节，一定要加上一个诸如（2x+y）·（x+2y）的题目，等待学生犯错误，或者让学生辨析能不能用完全平方公式进行计算，如果不能计算,应该回到多项式乘多项式的法则上思考问题的解决，效果更好.

4.怎样教会学生使用完全平方公式

数学思想是知识和方法在更高层次上的抽象与概括而成的数学观点，数学方法是数学思想的具体表现形式，是数学思想的具体化、程序化，具有更多的操作属性.完全平方公式本身就是这样一种数学方法，其背后的数学观点是整体思想和模型思想，将这种数学思想转换成具体的数学方法就是数学建模.因此教师在教授完全平方公式时，要立足于建模思想，才能够有效地解决学生使用公式不顺利的困惑，从而在必须使用完全平方公式时快速、精准地套用.结合笔者在过往的课堂中观察到的情形，对于利用完全平方公式的题目学生尚且感到吃力，教师讲解之后发现效果也不大，学困生人数并未明显减少，错误依旧出现，这其中除了学生对公式的系统性应用需要一定实践，教师的引导策略和立足点显得尤为重要，如对于利用完全平方公式计算（a+b+c）2一题，教师首先引导学生观察题目与原有公式的不同之处，然后引导学生思考怎样变形才能让题目变得和公式中的形式一样（将其中两个字母看作一个整体用小括号括起来），最后让学生独立尝试解决，对于982的计算亦如此，能“合”亦能“分”才是解决问题的关键，也是建模的精华所在，这样的方法引领和思想渗透才能真正让学生从题海中走出来，从而学会处理一般问题的基本思路，教师不必处心积虑地为学生准备各式各样的习题，学生也能轻而易举地驾驭完全平方公式，授之以鱼不如授之以渔即是这个道理.

三、对合理布施教学的三点思考

1.在教学中如何理解教师和学生的地位

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，课堂要以学生为主体，以教师为主导，这是基于以人为本的教育理念和建构主义学习理论，但其实教师的教与学生的学是矛盾的统一体，矛盾之处体现在教师讲得越多，要求越多越细致，对于学生的自然行为会构成越多的干预，学生的思想就越加束缚于教师理解数学知识的方式上，这不利于学生按照自己的方式构建知识；统一之处体现在教师的教如同在做减法，而学生的学如同在做加法，课中教师（相对于学生的知识量）减去的知识和经验恰恰是学生要学习的知识和经验，因此教师又必须保留必要的指导.从最近发展区的角度来看，教师要知道学生最近发展区的彼岸是什么及联结着什么，但是作为主体的学生，虽然学习的内部动力来源于自己，但是学生并不知道自己的最近发展区的彼岸在哪里，又该如何成功渡过，这皆体现出教师闻道在先、术业专攻的引导价值，故教师的主导地位绝不是让教师闭嘴，也不是单纯地让学生表演，而是教师带领学生拾阶而上，至于拾阶而上的方式，可以是问题引导，可以是教师提供具体的问题情境，还可以是在学生遇到瓶颈时教师直接讲解，合理利用课堂中的生成性资源，这样的课堂才是高效的课堂，也便于教师及时了解学生的困惑，为学生解决困惑.就本节课而言，教师不应快速讲解完公式，将课堂的重心放在大量的训练上.在上文提到，教师利用幂的定义及从整式乘法的角度引入公式贴近学生的最近发展区，也符合知识自然生长的规律，同时易于学生领会知识内在的精神价值.

2.教师备课需要准备什么，如何准备

在认真听取了8位新教师的授课之后，笔者还发现几个共同点：第一，大都按照课本上的顺序选用教材的资源呈现例题、设计习题；第二，新教师除个人的语言表达能力不同之外，在课堂环节衔接处大都有些生硬、不自然，缺乏联系；第三，每位新教师都精神饱满、慷慨激昂，想把自己准备的东西精准传递给学生，但是只走完了表面的流程，没有及时察觉到学生有难言之隐.这些问题促使笔者思考：无论是新教师还是老教师，在备课的过程中，应该准备什么素材？又如何组织这些素材？布鲁纳认为，学生的认识过程与人类的认识过程有共同之处，而教学过程就应该是在教师的引导下让学生发现的过程.同时布鲁纳还认为，学生的“发现”与科学家的“发现”只是形式和程度不同，但性质是相同的，都是通过积极的思维活动而形成的，其智力功能和发现价值是相同的.因此教师在准备素材时，应当在充分理解数学、理解学生、理解教学的基础上为学生准备一些类似于科学家发现问题时的半成品模型，让学生在探索发现时有所依赖，但又不会减少思维含量，而当学生探索出现障碍时，教师要人为缩小范围，降低难度，以便于学生突破障碍完成学习，因此成功的教学应该是包括教材在内的素材为教学服务而不是素材牵着教师和学生的鼻子走.如文章开始讨论的借助几何直观（课本的引例）和直接利用乘法公式计算这两种引入方式相比较，直接利用乘法公式计算的方式开门见山，并且注重了知识的整体性和联系性，对于大多数学生来说效果更佳.

3.就本节课而言，教师进行教学设计的根本立意是什么

教师一般每节课都有自己的教学立意，或明确或模糊，有意识或下意识，模糊或下意识的教学立意一般难以至高远.教师在设计每节课时都要基于章建跃博士提出的三个理解——理解数学、理解学生、理解教学，不但要分别理解，还要将三项理解统一落实到教师的教和学生的学上.根据对学生困惑点的分析也可以看出，困惑产生除了公式本身的操作具有一定的难度，公式的由来、工作原理、使用方法等几项内容碎片化的存在也是主要原因之一，因此教师的教学设计在整体上应该包含一个“去碎片化”的隐形线路，而只以难度增加的方式向学生呈现多组变式训练是完不成教学目标的.这就要求教师处理好两种关系.第一种是递进关系，循序渐进地让学生明白完全平方公式是乘法公式的特殊形式，其具有简洁性和实用性的价值；完全平方公式中的字母可以产生由单个字母到数再到复杂单项式和多项式的递进变化，但其本质都是乘法运算.第二种关系是包含关系，其内涵是：整式的乘法包含完全平方公式，完全平方公式的适用范围小于整式乘法公式的适用范围；数学思想统摄数学方法，完全平方公式是一个等式，更是一个模型和一种思想，千变万化的应用体现的是公式蕴含的数学思想，而数学建模是联结基本方法和数学思想的桥梁，教数学和学数学最终都要落实到数学思想的领会上而非单纯的知识立意.处理好这两种关系也是综合理解数学、理解学生、理解教学的体现.