数列极限的求解方法探讨

杨 雄

（娄底职业技术学院会计学院，湖南娄底417000）

极限是高等数学中最基本的一个概念，极限以及极限的思维方法贯穿高等数学的始终，在微积分中，如函数的连续性、可导性、微分、定积分等几乎所有的概念都是通过极限来定义的，所以准确理解极限的概念，掌握极限的计算方法是学好高等数学的基础，而数列极限又是极限的起点，因此对数列极限的求解进行分析探讨具有很重要的作用。

1 应用数列极限定义求数列极限

定义［1］若对任意的ε＞0都能找到自然数N，使当n≥N，误差不等式成立，则称a是数列≥xn≥的极限，记作：

运用数列极限的定义可求解数列的极限，关键是找到N与ε的关系式，保证成立，常用的方法是放缩法。

注（1）极限定义中的ε是任意小的正数，正因为ε的这个性质，才可以表示无限接近于0；另一方面，一旦给出了ε，ε就被相应地确定了下来，在这个意义上，ε，2ε，等都是等价的。

（2）极限定义中的N不是唯一的，也不一定非要是整数，只要存在这样的正数N即可。

（3）几何意义：在邻域u（a，ε）之外至多有数列xn姨姨的有限项。

分析在不能直接求出数列xn姨姨的极限时，可先适当放大为 bn，再解较易的不等式 bn＜ε，进而可得即求得数列极限。

2 应用数列求和求数列极限

裂项消项、错位相减消项等方法是数列求和的常用方法，若先能求出数列前n项的和，进而能求出n→∞时的数列极限。

阜外医院相关负责人介绍，传统模式下，医院物资处库管员在HIS系统对耗材进行科室调拨，再由配送人员配送到各个科室使用或予以储存，物流管理方面较为倚重人力。

即

3 应用两面夹定理求数列极限

定理设n充分大时，yn≤xn≤zn，若数列yn→→和zn→→有相同的有限极限a，则数列xn→→的极限存在且等于a［2］。求解某些较复杂的数列极限，此定理很有用，但要严格遵守它的使用条件

例 5 设 ai≥0，i=1，2，3…，p，证明

证明 不失一般性，可假设 a1，a2，…，ap中的最大数为 a1，于是 a1n≤a1n+a2n+a3n+…+apn≤pa1n，由此可得：

4 应用Stolz定理求数列极限

Stolz定理［3］设 a1＜a2＜…＜an＜…且若极限（a有限或±∞，但 ∞ 不可），则

5 应用数列的单调性及递推关系式求数列极限

例 8［4］已知

解因为xn姨姨单调递增且xn≤2，可知x1≤x2≤2，设xk≤xk+1≤2，则即证明数列xn姨姨单调递增且xn≤2，因此存在，设此极限为a，对等式两边平方再取极限可得：a2=a+2，解此方程可得：a=-1或a=2，但故 a≥0，所以

求数列极限的方法灵活多变，本文通过数列极限的定义、数列的求和、两面夹定理、Stolz定理、数列单调性及递推公式对数列极限的解法进行了探讨，还有定积分、无穷小、级数等都可应用到数列极限的求解，并且已有文献［5-6］进行了研究。数列极限的解法探讨意在对极限的学习提供参考，当然在求解具体题目时要注意灵活运用，平时要多积累、多思考推敲。

［1］华东师范大学数学系.数学分析［M］.4版.北京:高等教育出版社,2015.

［2］塔怀锁.数列极限的几种特殊求解方法［J］.北京工业职业技术学院学报,2011,10（2）:72-74.

［3］欧阳光中,姚允龙,周渊.数学分析:上册［M］.上海:复旦大学出版社,2002.

［4］景慧丽.极限求解方法研究［J］.哈尔滨师范大学学报（自然科学版）,2015（5）:16-22.

［5］余晓娟.数列极限求解方法的研究［J］.保山学院学报,2016（2）:16-65.

［6］景慧丽.《高等数学》课程中极限求解方法探讨［J］.廊坊师范学院学报（自然科学版）,2016（2）:110-111.