在一个游戏问题的解决中体验模式的应用

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(浙江师范大学教师教育学院,浙江 金华 321004)

在《普通高中数学课程标准》的修订工作中，研究者们提出了中学数学教育中需要培养的六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析[1].其中“数学建模”在中学数学教学中，经过多年的实践，已经取得了丰硕的成果.一般认为“数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程”[2].在数学建模教学中，需要有一个现实的问题情境，学生通过合作学习等方式，经历“从实际问题中建构数学模型,用数学方法加以解决,并在实际问题中解释、应用、推广”这样一个完整的过程.在分析核心素养的内涵时，李艺等则提出了“双基”“问题解决”“学科思维”的三层架构，并指出：其中“双基”层最为基础，学科思维层最为高级，而问题解决层发挥着承上启下的作用[3].

一个好的问题是开展数学建模教学乃至培养学生数学核心素养的关键所在.然而，就中学生的数学基础而言，适合组织数学建模教学的“好的问题”并不丰富.因此，设计、开发并有效利用“好的问题”便成了中学数学教师们的一项重要任务.笔者用通俗的方法分析一个Nim游戏问题的解决过程，说明一个“好的问题”将如何影响学生数学核心素养的形成和发展.

1 问题提出和解决

问题甲、乙两人玩一种游戏：现有3列扑克牌，第1列3张，第2列6张，第3列9张.两人依次轮流从中取走若干张扑克牌，每次只能在其中一列中取，至少取1张，至多取完该列的所有扑克牌.取到最后1张牌者为输.若甲先取牌，如何保证自己必赢？

为叙述方便，作如下书写约定：将3列扑克牌数记为(3,6,9)，某列中取走若干张牌后的结果也仿此表述，例如甲从第2列取走3张牌后的结果记为：甲(3,3,9)，乙再从第3列取走2张牌后的结果记为：乙(3,3,7)；并在某些场合称甲方为“我方”，称乙方为“对手”.

面对该问题的一个自然想法是先作些尝试.比如甲先将第3列的9张牌取完，即：甲(3,6,0)，此时乙只需应对：乙(3,3,0).接着，若甲只取1张，无论甲(2,3,0)还是甲(3,2,0)时，乙都从另一列取1张，即得乙(2,2,0)，至此，不管甲怎么取，乙都可将最后1张留给甲，乙已经稳操胜券；若甲取2张，比如甲(1,3,0)，乙只需取走第2列的3张便赢了；若甲取3张，比如甲(0,3,0)，则乙(0,1,0)便赢了.

看来甲取完一列显然是失策的.不过由上面的分析可以发现：一方只要控制了(0,2,2)，(0,3,3)中的任何一种，便能稳操胜券，我们称它们为“无解模式”(对于对手来说是无法破解的).

于是，我们得到了第一类无解模式：(0,n,n)，其中n∈N+，且n≥2.这3列中的3个数可以任意调换，下文中的所有模式均如此.至此，我们有了解决这一问题的一个看起来很不错的思路，即“构建模式”:

1)先从最简单的开始，易发现(1,1,1)是无解模式.进而知(1,2,3)也是无解模式.

2)若我方(1,3,4)，对手(1,3,2)即为无解模式.因此(1,3,4)不是无解模式.

3)若我方(1,4,5)，对手(1,4,4)时，我方(0,4,4)为无解模式；对手(1,4,3)时，我方(1,2,3)为无解模式；对手取第2列时，可用同样的无解模式破解.因此(1,4,5)是无解模式.

4)若我方(2,4,6)，对手(1,4,6)时，我方(1,4,5)为无解模式；对手(2,3,6)时，我方(2,3,1)为无解模式(其实只要有两个数小于等于3时，一步便可获得无解模式)；对手(2,4,5)时，我方(1,4,5)为无解模式；对手(2,4,4)时，我方(0,4,4,)为无解模式；对手的其他应对均极易破解.因此(2,4,6)为无解模式.

利用化归与分类，容易得到如下无解模式：(3,5,6)，(1,6,7)，(2,5,7)，(3,4,7).

现在，我们来分析(3,6,9)的破解方法.

利用前面得到的无解模式，容易发现:只需在第3列取走4张，即甲控制(3,6,5)这一无解模式便赢定了.

当然，我们还想知道，除此之外是否还有其他的取胜之道.对此，我们只能进行详细地分类讨论：若甲(2,6,9)，则乙(2,6,4)为无解模式；若甲(1,6,9)，则乙(1,6,7)为无解模式；若甲(3,5,9)，则乙(3,5,6)为无解模式；若甲(3,4,9)，则乙(3,4,7)为无解模式；若第2列牌数小于等于3，由前面的分析，极易被破解；若甲(3,6,8)或(3,6,7)，则乙(3,6,5)为无解模式；若甲(3,6,6)，两列数相同，则乙(0,6,6)或(3,5,6)均可破解；若甲(3,6,4)，则乙(2,6,4)为无解模式；若第3列的牌数小于等于3，同样极易被破解.

综上所述，我们确认：对于(3,6,9)，甲欲赢得游戏的唯一解是从第3列中取走4张，控制(3,6,5)这一无解模式.

2 模式扩展

改变3列扑克牌的张数，将问题一般化.为了解决一般问题，需要将现有无解模式扩展，甚至构建更一般的无解模式.为此，我们对已有模式的特征进行分析.

一个较为明显的特征是，已有模式中的大多数均满足2个数之和等于第3个数.于是猜想：当a+b=c时，(a,b,c)是无解模式.然而遗憾的是，该猜想的结论并不正确.事实上，(3,6,9)便是一个反例.看来，我们只能退一步，先考察较小范围的无解模式特征.

当3个数互不相同，2个数之和等于第3个数，且最小数为1时，我们发现有如下的无解模式：(1,2,3)，(1,4,5)，(1,6,7)，(1,8,9)，(1,10,11)，……

根据其中的规律，不难得到下面的结论:

定理1当n∈N+时，(1,2n,2n+1)是无解模式.

证明当n=1时，结论成立，即(1,2,3)是无解模式.

假设当n≤k(其中k∈N+)时，结论成立，即(1,2n,2n+1)是无解模式.

当n=k+1时，扑克牌数为(1,2k+2,2k+3).

1)若对手在第1列取，取后为(0,2k+2,2k+3)，则(0,2k+2,2k+2)即为无解模式.

2)若对手在第2列取，取后为(1,2k+2-m,2k+3)，其中1≤m≤2k+2，此时：

①当m=2k+2时，取完第3列，(1,0,0)即为无解模式；

②当m=2k+1时，第3列留1张，(1,1,1)即为无解模式；

③当1≤m≤2k，且m为偶数时，记m=2m1，其中m1∈N+，我方只需在第3列取m=2m1张，(1,2(k-m1+1),2(k-m1+1)+1)即为无解模式；

④当1≤m≤2k，且m为奇数时，记m=2m1+1，其中m1∈N，我方只需在第3列取m+2=2m1+3张，(1,2(k-m1)+1,2(k-m1))即为无解模式.

3)若对手在第3列取，取后为(1,2k+2,2k+3-m)，其中1≤m≤2k+3,此时：

①当m=1时，(0,2k+2,2k+2)即为无解模式;

②当m=2k+3时，取完第2列，(1,0,0)即为无解模式;

③当m=2k+2时，第2列留1张，(1,1,1)即为无解模式;

④当2≤m≤2k+1，且m为偶数时，记m=2m1，其中m1∈N+，我方只需在第2列取m=2m1张，(1,2(k-m1+1),2(k-m1+1))即为无解模式;

⑤当2≤m≤2k+1，且m为奇数时，记m=2m1+1，m1∈N+，我方只需在第2列取m-2=2m1-1张，(1,2(k-m1+1)+1,2(k-m1+1))即为无解模式.

综上所述，当n=k+1时，无论对手如何应对，我方均可控制无解模式，即当n=k+1时，结论也成立.根据数学归纳法原理，待证的结论成立.

当3个数中2个数之和等于第3个数，且其中有一个数为2时，我们发现有如下的无解模式：(2,0,2)，(2,1,3)，(2,4,6)，(2,5,7)，(2,8,10)，(2,9,11)，(2,12,14)，(2,13,15)，……不难发现该类无解模式的一般形式是：(2,4k,4k+2)或(2,4k+1,4k+3)，其中k∈N(证明略).依照这样的思路，我们还可以推广出更多类的无解模式(此处略).

3 价值分析

我们将上述问题应用于数学教学，可以让学生经历数学建模的一般过程.更重要的是，在该问题的解决中，需要充分利用模式的作用.由此，一个模式实际上就是一个较为复杂的思维过程所得结果的简单呈现，而这个结果又成为思维链中的一环.由于我们的“深层次”思维可以应用这些模式，只需关注“环”与“环”之间相扣的方法，而暂时隐藏了“环”内部思维的细枝末节，这就使得我们的“深层次”思维能够较为顺畅地进行.在这里“模式”就成了一种“思维组块”，保证了我们的思维能够更简捷、更清晰、更深入.

一般认为“数学是关于模式的科学”.事实上，“模式”存在于许多数学问题的解决过程中，学生解决数学问题的能力在很大程度上取决于其识别、建构、应用恰当模式的能力.从这个层面上来看，该问题的解决过程已经在一定程度上体现了数学学科思维的一般形态，可以在学科思维这一层面上有效促进学生数学核心素养的形成和发展．

在上述问题的解决中，还需要不断地经历模式猜想、模式否定(证伪)、重新建构模式并加以证明(证实)的过程.这种从证伪到证实的思维过程，正是数学学科发展乃至一般人类知识产生和发展的基本规律.正如喻平教授指出的：“证实性知识与证伪性知识相结合，是实现知识迁移和知识创新的必然选择.”而“发展学生的学科核心素养，关键是要走出‘知识理解’的围栏，由‘知识理解’向‘知识迁移’过渡，再向‘知识创新’提升”[1].因此，上述问题的解决过程在“知识迁移”“知识创新”层面上也能很好地促进学生数学核心素养的形成和发展.

[1] 喻平．发展学生学科核心素养的教学目标与策略[J]．课程·教材·教法．2017,37(1):48-53．

[2] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(实验)[M]．北京：人民教育出版社,2003．

[3] 李艺，钟柏昌．谈“核心素养”[J]．教育研究，2015,428(9):17-23．