自主变式创编新题，提升学生数学思维力

吴森雄

“课标”指出“有效的数学学习活动不能单纯地模仿和记忆”“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”。这个过程是数学思维不断拓宽，不断加深，且多维交织，高速运行的过程。无论是新课讲学，还是练习复习，教师都应以格外重视思维的训练，以思维能力为导向，避免知识的机械填鸭。中考复习时间紧，任务重，题目千变万化，题海战术要不得，那么，如何有效地提升学生的思维力呢？自主变式，创编新题，是一种有效的复习讲评策略。下文将结合《几何变换——旋转》这节课的具体过程而谈，与读者分享。

一、出示典例，建构思维起点

典型例题蕴藏着典型的数学思想与方法。掌握典型例题的特点与解题方法，有助于学生数学知识的构建。教学中要善于挖掘这类例习题，巧妙改编，即通过一个典型的例题，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于知识的建构。

教学片断：

如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由。

生1：因为BE、DF不在同一条直线上，根据“截长补短”原理，通过旋转则可以实现BE、DF在同一直线上。

师：很好，“截长补短”是解决“线段和差”问题的主要方法。

这道题难度不大，接近学生的最近发展区，大部分同学能够自主完成。

解：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F、D、E′在一条直线上。

∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF.

又∵AE′=AE，AF=AF，∴△AE′F≌△AEF（SAS），∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF.

教师引导学生逐句分析题设中所给出的各个条件，明确其在解题过程中所起到的作用，形成方法技能；接着引导学生得到本题的4个关键性条件：①ABCD是四边形，点E、F分别在边BC、CD上；②AB=AD；③∠B=∠D=90°；④∠EAF=■∠BAD。结论是求EF=BE+DF（为接下来的例题改编做准备）。

师：有一种不需“刷题”也能提高复习效率和成绩的方法，那就是创编题目进行变式，今天我们一起来体验改编试题变式的魔力。

师：所谓变式，就是改变原题条件和结论，或把条件和结论互换位置，或转换问题的内容和形式，从而变成一道新题。如刚才的题目有4个条件：①ABCD是四边形，点E、F分别在边BC、CD上；②AB=AD；③∠B=∠D=90°；④∠EAF=■∠BAD；结论是求EF=BE+DF。请同学们根据变式方法对题目进行改编。

二、逆转变式，翻转思维纬度

逆转变式是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目本质的一种思维策略。

教学片断：

生3：根据图形，我把题目的题设条件∠EAF=■∠BAD和結论EF=BE+DF互换位置，改成：

如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，连接EF，EF=BE+DF，则∠EAF=45°，说明理由。

师：生3认真观察图形特征，把图形语言转化为符号语言，为大家做出了很好的示范，题目关键性条件和结论互换位置，改编成一道新题，其实是一道曾经的中考旧题。大家试试看，能不能给出答案。

学生惊讶地看着生3，议论纷纷，原来中考题目离他们那么近。他们对这道题兴趣盎然，都想成为下一道中考题目的命题人。

在例题的引领下，学生很快给出解题过程（解题过程略）。

三、拓展变式，拓宽思维深度

牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地进行拓展变式创编新题，拓宽思维深度，培养学生的创造性思维和发散性思维。

教学片断：

生4：我想把题目条件拓展一下，其中条件③∠B=∠D=90°等于90°去掉，即③∠B=∠D，题目变式为在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B=∠D， ∠EAF=■∠BAD时，还有EF=BE+DF吗？不过这只是我的猜想。

师：有创意，很多命题都经历先猜想后证明的过程，我们一起来帮助他证明这个命题能否成立吧。

小组讨论过程中，同学们遇到一个棘手问题，由于题目条件的改变导致图形的变化，那怎么画图呢？没图形便谈不上分析和解答了。

师：研究一个问题，常从特例入手，同学们可把图中的正方形改成菱形。

生5：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，还有EF=BE+DF吗？（学生把符号语言转化为图形语言，利用几何画板很快画好图。）

师：符号语言转化为图形语言是题目改编的关键，同学们一起思考这道题。

在例题的引领下，学生很快给出解题过程。但有同学怀疑自己的解题过程和结论，因与预设结果不一致。

生6：把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F，根据菱形和旋转的性质得到AE=AE′，∠EAF=∠E′AF，利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120°，则点F、D、E′不共线，所以DE′+DF>EF，即BE+DF>EF。

师：思路清晰，有根有据。

生7：这道题不完美，能否把题设条件改编一下，使结果EF=BE+DF成立呢？

小组讨论2分钟后——

生8：我观察到“由于∠ADE′+∠ADC=120°，则点F、D、E′不共线，所以根据三角形两边之和大于第三边即可得DE′+DF>EF”，如果旋转后F、D、E′ 共线，应该就有EF=BE+DF。endprint

师：观察细致入微，根据思路先把题目改编一下。

生9：在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=■∠BAD时，EF=BE+DF吗？

符号语言转化为图形语言是这道题的关键，学生根据题目条件不断调整草图，最后利用几何画板很快画好图。

在例题的引领下，学生很快给出解题过程。

学生10板书如下：

当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=■∠BAD时，EF=BE+DF成立.

生11：能得到这样的一个命题吗？“在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=■∠BAD时，EF=BE+DF.”

师：命题 成立，大家回去证明。这是中考题目中的“半角模型”。改编题目進行变式让我们了解了中考命题的奥秘。请同学们对这道题充分思考并进行改编，找到更多的变式。老师给同学们一点提示，可连接BD，交AE、AF于点M、N，研究BM、MN、DN三者关系？也可以对正方形的边进行赋值，计算其他边长或图形面积等。

拓展变式，得出新题。让学生对教师提供的材料，利用自己已有的知识去探索、猜想、建构，解决最近发展区的问题，这是培养学生思维创造性的一种有效途径。

课后再三思——

反思一：尊重学生的思维主体。以往的数学课，都是由教师对题目改编进行变式，同学解决教师提出的问题，最后总结归纳这一类题的解决办法。长此以往，学生就缺乏了主观能动性，造成“老师让我做什么就做什么”的懒惰思维。尊重学生的思维主体性，让学生主动对题目经行再创造，再加工，激发学生学习数学兴趣，降低对几何学习的恐惧。“我的课堂我做主”，学生主动投入到数学的学习中，思维的发展，能力的增长，都变成了主动生长的过程。

反思二：促进学生的思维发展。题目的每一次创编变式都需要大量的缜密思考，创编变式不可能一蹴而就，曲折的过程更能暴露学生思维的痛点，及时修正才能通往正确的方向。因此，要不断增强课堂的开放程度，抓住思维的起点、过程和诱因，创造广阔的思维空间，为学生提供观察、思考、交流、表现的机会，养成多思的习惯，让学生在开放的思维活动中获取知识，提升思维能力，提升思维品质。

反思三：激发学生的思维创造性。每一次创编题目都需要学生根据已有知识进行大胆的猜想。没有大胆的猜想，就没有伟大的创造。在数学教学中，引导学生进行积极、大胆地进行猜想和变式，让学生在猜想和变式过程中更好建构知识，并运用变式对知识进行再发现、再创造，能有效地提高学生的创新能力。【本文为广东省教育研究院教育研究课题《基于“快乐和能力导向”的初中学科三年一体化建设的策略研究》（GDJY-2015-A-b069）研究成果之一】

责任编辑徐国坚endprint