基于等效原理求解介质球极化场问题

曹斌照 费宏明 杨毅彪 陈景东

(太原理工大学物理与光电工程学院,山西 太原 030024)

介质球处于外场中的等效电偶极矩在电磁辐射、瑞利散射、金纳米颗粒的介电效应等方面有着重要的应用[1-4]。在电磁辐射中，一对振荡的等值异号电荷在远区的辐射场即可视为电偶极子的辐射；瑞利散射是指在低频极限或k0a≪1(k0为真空中的波数，a为介质球半径)条件下的电磁散射。在该条件下，散射体产生的辐射场也可等效为电偶极矩产生的场；对于几何尺寸远小于光波长的金属纳米颗粒，用介质球等效偶极矩模型能够近似预见颗粒的光共振吸收频率，也可以解释这类材料的光致荧光以及拉曼光谱对激发光偏振的强烈各向异性等。球形电介质的极化模型也可以构成准静态条件下电磁目标隐身的理论基础[5]。从理论上讲，静态场中均匀介质球的等效偶极矩模型实质上是一个关于均匀电场中介质球的极化问题，该问题在“电磁场与电磁波”“电动力学”以及“数学物理方法”等课程的经典教材中均作为典型例子进行了分析。这类问题的求解最常用的方法是分离变量法，通过对拉普拉斯方程的定解问题进行求解，并借助于电介质极化的相关概念计算与分析[6-8]。虽然分离变量法推导严谨、逻辑性强，但对于理解介质极化的物理机制不直观。文献[9]基于叠加原理和反证法的思想分析了当导体球表面电荷密度满足σ∝cosθ关系时球内电场一定为均匀场的问题，笔者认为存在一定的瑕疵。本文提出基于等效原理的分析方法，既能够直观理解物理概念，又灵活运用了特殊函数的性质，不失为一种好的尝试。

1 模型及理论推导

图1为一介质球处于均匀电场E0中场相互影响的示意图。由于极化的存在，在介质球面上会出现束缚电荷，于是产生相应的附加电场E′，该场对原电场有削弱作用。从电偶极子观点看，束缚电荷在介质球外产生的附加场可等效为一偶极子产生的场。总场为外加均匀电场E0和反方向的偶极子产生的附加电场E′的叠加。

图1 介质球处于均匀电场中场分布示意图

为了便于理解，我们分两步进行考虑：首先分析处于均匀电场中导体球的感应场；以此为基础，再分析处于均匀电场中介质球的极化场。

1.1 均匀电场中导体球的感应场

图2 分析导体球外、球内电势示意图

(1)

利用连带勒让德多项式的母函数展开式[6]

(2)

以及连带勒让德多项式的正交性

(3)

其中，

可求得感应电荷在球体外产生的电势为

(4)

同理可得感应电荷在球体内的电势为

(5)

由E=-φ，不难得出球内、外感应电场分别为

(6)

则导体球内、外总电场强度分别为

(7)

1.2 处于均匀电场中介质球的退化场

设介电常数为ε1的理想介质球处于介电常数为ε2的理想基质中，若外加均匀电场E0，则极化的结果为介质球表面内、外侧附近分布着一定数量的束缚电荷，且两侧的极性相反，因均匀极化，故球内无净束缚电荷。设总极化电荷面密度为σp，则n·(E2-E1)=σp/ε0。本文对这一问题用等效原理方法求解。场等效原理即为：在一个给定的空间区域内由确定的源产生的电磁场可以看作是由另外的等效源所产生。不论等效源是否实际存在，只要它们在给定的同一区域内产生的场相同即可[4]。在该种等效原理下，只要所求的势函数满足原问题的边界条件，根据唯一性定理其解是正确的[7,8]。镜像法作为等效原理的一个特例，但等效原理中等效源的选择方式远比镜像的选取灵活多样。依据等效原理，在计算球内电场时不妨令球外电场E2=0，即所求问题可等效为一个填充介电常数为ε1的空心导体球壳，球内的电势为等效电荷产生的电势与外加均匀电场对应的电势之和；在计算球外电场时令球内电场E1=0，即可以等效为一个导体球外填充介电常数为ε2的问题，从而可以直接利用式(5)、(6)的结论，其等效示意图如图3所示。

图3 分析内、外区域电场等效原理示意图

设球内、外电势分别为φ1、φ2，等效面电荷密度分别为σp1、σp2。根据式(5)、(6)，有

利用边界条件：D1n=D2n，φ1=φ2，可得

(10)

则介质球内、外电势分别为

(11)

上式与文献[7,8]结果相同。

1.3 推广到均匀电场中介质球壳的极化场问题

设内、外半径分别为R1、R2的介电常数为ε2的介质球壳内填充介电常数为ε1的理想介质，介质球和球壳均处于介电常数为ε3理想基质中。设外加均匀电场E0，两介质层极化电荷面密度分别为σp1、σp2，球内、球壳和球壳外的电势分别为φ1、φ2和φ3。根据上述等效原理，可得

利用边界条件：D1n=D2n=D3n，φ1=φ2=φ3，可得

2 分析与讨论

对于情形1.3，若取R1→R2,ε2=ε0,ε3=ε2，则退化为情形1.2。代入式(15)、(16)，得

结果与式(10)和文献[3]一致。

可见，介质球表面内、外侧附近分布着一定数量的束缚电荷，其两侧的极性相反，分界面两侧的窄隙可以看成一无载荷隔离薄层，其厚度与原子核中心与电子云中心的距离同数量级。在本文中基于导体球壳的静电感应电荷分布规律，对介质球极化问题进行了等效，另辟蹊径，从而使问题的理解更加直观。

3 结语

本文基于电场的叠加原理、等效原理分析了介质球在均匀电场中的极化场问题。首先用场的叠加原理，通过严格推导得到均匀电场中导体球的感应场可以等效为电偶极矩的场。以此为基础，利用电场等效原理分析了介质球、介质球壳在均匀电场中的极化场。最后，探讨了时谐电磁场对介质球的极化在一定条件下可以用电偶极矩场近似，并阐明介质球的极化场在电磁散射、纳米球颗粒共振以及电磁隐身中的重要作用。本文的探索对于更好地理解极化的物理本源以及实际应用具有理论指导价值。

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