相切型传递的加速度表现

陈奎孚 姚海蓉 张云文

(中国农业大学 1理学院74#， 2工学院，北京 100083)

圆轮在刚体平面运动和复合运动的训练中频繁出现，然而长期以来，主流理论力学教材和教辅对涉及圆轮的运动学分析存在若干疑问。本文将建立相切型传递的加速度关系，利用该关系澄清长期以来的疑问。

1 若干疑问

1.1 疑问1

图1 相切型机构

分析图1所示的“相切型”机构的速度和加速度是经常使用的教学案例[1-3]。采用点的复合运动分析这个案例时，我们会反复强调动点不能选择为杆与盘的切点。一般做法是以杆为动系，轮心为动点。这样做的最重要依据是：轮心到杆的距离不变，因此以杆为动系，看到轮心的相对轨迹是平行于杆的直线，而后者的分析非常容易。图1在教学上很典型，但是很难推广到工程上经常遇见的非圆情形[4,5]。

1.2 疑问2

图2 圆轮纯滚动

1.3 疑问3

刚体接触对应一个约束，减少一个自由度。图2的纯滚动，不仅轮与地面接触，而且纯滚动，这又是一个约束，应再减少一个自由度。发生平面运动的圆轮具有3个自由度，扣除约束的两个自由度，还剩一个自由度。也就是说，对图2的模型应该只能再指定一个加速度分量了，然而图2的轮心加速度aO的两个分量(一个水平，竖直分量为零)往往是全给定的。因此aO信息肯定是冗余的。究竟哪个分量冗余呢？能否利用这个冗余信息回避对vO=Rω求导呢？

1.4 疑问4

把图1中的圆轮换成椭圆轮，那么目前教辅所提供的方法就很难实施。同样如果把图2的圆轮换成椭圆轮(比如橄榄球)，则vO=Rω就很难使用，更无法求导。更为一般情形是两个接触边缘都是任意的平滑曲线。这种一般情形更有理论统一的价值，但几乎现有的教材和教辅都对此避而不谈。当然也可以想象，答案即使找到，也可能比较繁冗，在课堂教学上很难实施。然而，既然有这种非圆情形，并且工程上有其应用，那么对科学的执着就应该找到对应答案。找到了答案，一方面使这个科学问题得以封闭，另一方面也可居高临下地来审视特例，丰富课外学习材料。

2 加速度分析

因为复合运动分析很难处理非圆情形，所以本文直接从平面运动分析入手。

在图3(a)中，两个平面运动刚体Ⅰ和刚体Ⅱ在t时刻相切，切点在两个刚体上位置记为A和B。两个刚体在切点的曲率半径分别为ρⅠ和ρⅡ；OⅠ和OⅡ分别为对应的曲率中心。刚体Ⅰ和刚体Ⅱ的转动角速度分别为ωⅠ(t)和ωⅡ(t)；切点处的速度分别为A(t)、B(t)；加速度分别为aA(t),aB(t)。

图3 两个刚体相切(a) t时刻; (b) t+Δt时刻

2.1 速度关系

因为A和B接触，而刚体又不能变形，所以A(t),B(t)在公法线上投影相等，即二者有如下关系

A(t)=B(t)+vr(t)τ(t)

(1)

其中，vr(t)是A点相对B点的速度大小；τ(t)是公切线方向矢量。

在Δt之后，两刚体的切点分别变成A′和B′,相应的速度分别为A′(t+Δt)、B′(t+Δt),如图3(b)所示。同样有如下关系

A′(t+Δt)=B′(t+Δt)+vr(t+Δt)τ(t+Δt)

(2)

注意t时刻的A和B，现在分别移动到了A″和B″, 各自速度分别为A″(t+Δt)、B″(t+Δt)。采用基点法，可建立A′和A″的速度关系,即

A″(t+Δt)=A′(t+Δt)+ωⅠ

(3)

(4)

2.2 加速度关系

式(3)减式(4),并把式(2)代入得到

(5)

根据定义

二者相减得

(8)

将式(1)和式(5)代入式(8)整理得

aA(t)-aB(t)=L1+L2-L3

(9)

其中

这3个极限的分析过程相对冗长，我们将其放在第4节，结果分别为式(28)、式(31)和式(32)。把这3式代入式(9)可得

(10)

式中诸量均为t时刻的取值，为书写简洁，已把诸量随t变化的标记“(t)”去掉了。

式(10)也可将切向和法向分开写，即

图3中刚体Ⅰ和刚体Ⅱ在接触点都是凸的。如果有一个凹的，比如刚体Ⅱ为凹, 则式(10)和式(12)中的ρⅡ取-|ρⅡ|即可。

3 运用

本节讨论式(11)和式(12)的应用，并解答第1节的疑问。

3.1 纯滚动情形的退化

相切型的约束关系已经要求了两个接触点的速度沿公法向投影相等。如果进一步约束为纯滚动，即两个接触点的切向速度也相等，也就是vr=0，则式(11)和式(12)退化为

这就是纯滚动约束的加速度关系。

进一步，如果刚体Ⅱ为静止的地面，则有

这就退化为被苦苦寻找的速度瞬心加速度了[6-8]。

3.2 加速度约束关系

其实，杆系分析也需要补充加速度约束信息，只是没有特别强调罢了，比如图4的机构。根据约束性质容易确定A和B两点的速度方向(沿各自的滑道方向)。但这个信息并不自动蕴涵对加速度的约束，因为A和B两点速度都沿轨迹切向，但加速度不是这样。A点加速度还是沿轨迹切向，但是B点的加速度则不是。实际上A点加速度理所当然沿切向的论断是把对速度求导过程隐藏起来了。对B点，虽然没有明显的求导过程，但事实上，法向加速度大小是在自然法的知识点通过求导确定出来的。图4杆系的处理也可统一地说成：约束在加速度上的显式表现为法线加速度是已知的(速度已知)。对A点，法向加速度为零，进而推断出全加速度沿切向。最一般的情形是式(12),只是记起来比较费劲而已。

图4 杆系示例

由于圆轮要对vO=Rω求导与杆系“反对”求导的认知冲突，以及前者运用场合受限的缺点，所以笔者建议使用加速度约束，即对纯滚动圆轮补充式(15)的约束关系(为了应试训练而对vO=Rω求导，则是权宜之计)。更一般地，对两个平滑刚体接触情形的加速度分析，应直接使用式(12)(或式(14)或(16))。这样处置可消除疑问2。

3.3 圆轮纯滚动的冗余信息

在图2圆轮纯滚动模型中, 轮心的加速度aO是已知的，这相当于给定了两个条件，而A点相切又给定了一个条件(式(14)或式(16))，而平面运动刚体只有3个自由度，那么只用上述3个条件(不用纯滚的切向加速度约束式(13)或式(15))是否就可以确定轮子的所有信息了呢？

前面的讨论消除了疑问2和疑问3。至于疑问4，因为图3模型适用于任意平滑边缘的接触关系，因而式(11)～式(14)都是通用的。这样疑问4得以自动消除。

至于疑问1，下面通过具体示例来阐述。

例题1

解答 取O1A杆为物体1，偏心轮为物体2。速度分析如图5(a)所示。式(1)沿公法向投影

即有

图5 例题1图(a) 速度分析; (b) 加速度分析

为求下一步的加速度，式(1)沿公切线投影

得vr=v2sin60°。

加速度分析的相关信息如图5(b)所示。由式(12)有

例题2

图6 例题2图(a) 椭圆凸轮机构; (b) 加速度分析

解答 取O1A杆为物体1，椭圆轮为物体2。因为速度不涉及曲率，所以速度分析和答案与例题1完全相同。

加速度分析如图6(b)所示。由式(12)有

例题1和例题2表明相切型问题的加速度分析可通过本文的传递加速度关系来完成，且具有通用性，当然代价是要使用相对复杂式(11)和式(12)。采用点的合成运动来处理相切型问题，只能分析圆轮问题，而此类题目甚少，所以教学和考核中过度强调这个方法就值得商榷了。

4 相关极限的分析

本节证明第2节所需要的3个极限。

4.1 与角速度相关的极限

为了清晰起见，图7突出了两个刚体在t和t+Δt两个时刻的角度信息。把t时刻单位切向矢量τ(t)与刚体Ⅰ固结。图7中ΔθΙ是在Δt内，τ(t)转到τ″的角度，本质上也就是刚体Ⅰ转过的角度，因此

(17)

ΔθΙ=ΔθA+Δθm

(18)

图7 两个相切刚体的角度关系

把它代入式(17)得到

(19)

式(19)右边第一项可写成

等号右边第一个极限按定义为1/ρⅠ。对于曲率有界的边缘(平滑)，上式右边第二个极限为1。因而式(19)可写成

(20)

图7中ΔθⅡ和ΔθB是与ΔθΙ和ΔθA分别对应的量。同样有

(21)

4.2 与相对速度相关的极限

注意图7中矢量关系：

两边除以Δt后取极限得到

(22)

把式(1)代入式(22)得

(23)

4.3 3个关键极限

式(20)、式(21)和式(23)联合，可求得如下3个极限：

它们是随后分析的关键。

4.4 公切向单位矢量的导数

图8 公切向单位矢量的增量分析

τ(t+Δt)-τ(t)的大小为2sin(Δθm/2)≈Δθm,因此

把式(26)代入有

(27)

4.5 式(9)右边第一个极限

重组式(9)右边的第一个极限

进一步可写为

把式(27)代入有

(28)

4.6 式(9)的第二个和第三个极限

容易把第二个极限变为

(29)

(30)

式(25)右边的第二个极限已由式(24)给出。这样就得到了

(31)

同理可以得到第三个极限

(32)

5 结语

本文导出了相切型传递的加速度关系,使得这一科学问题得以封闭。在推导过程中建立了若干关键极限，后者不仅是本文的基础，也将是相关问题的研究基础。

利用导出的一般关系审视了纯滚动、加速度约束等相关疑问，澄清了相关问题。

将导出关系运用于两个例题，其中一个例题用复合运动分析难以解决。从所导出关系出发，两个例题的求解过程都比较简洁。

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