浅析第一次数学危机对哲学的影响

摘 要：第一次数学危机的影响不仅限于数学领域，其在哲学、科学等领域也有着深刻的影响。第一次数学危机的发生与解决使得无穷问题浮出了水面，同时理性的精神也正式确立，并在此之后在哲学、数学与科学占据了统治地位，从而促进了它们的发展。

关键词：第一次数学危机；无穷问题；理性精神

数学与哲学一样，都是很古老的学科，数学与哲学的关系也密不可分，其对哲学的影响也是极其巨大的。众所周知，数学史上总共出现了三次数学危机，无论是无理数的发现、微积分理论的創立还是“罗素悖论”的提出，每一次危机的出现到解决都是一次人们的观念从破碎到重塑的过程，一次思想的革命。三次危机不仅仅被数学家们讨论，哲学家们也纷纷各抒己见，对当时及以后的哲学产生了重大的影响，本文就以第一次数学危机而论，分析其对哲学产生了怎样的影响。

1 第一次数学危机与解决

第一次数学危机大约发生于公元前400年的古希腊，由毕达哥拉斯学派中的一个成员希帕索斯发现了引发。

毕达哥拉斯无论在数学史还是在哲学史上都是一个重要的人物。“数学，在证明式的演绎推论的意义上的数学，是从他开始的。”[1]毕达哥拉斯定理（勾股定理）的发现是毕达哥拉斯及其学派最重要的贡献之一，而这个发现又直接引发了第一次数学危机。当希帕索斯将毕达哥拉斯定理运用到求边长为1的正方形的对角线时，这时对角线长为，这对于当时的毕达哥拉斯学派和希腊人来说是一个不可理解的数，因为当时人们的普遍共识是，一切量都是可公度的。用现在的话说，希腊人认为所有的数都可以用有理数表示，有理数是一个整数和一个非零整数的比（可公度），即整数与分数；而是一个无理数，不能被表示为两个整数之比（不可公度）。“古希腊人使用‘有理、‘无理的术语，其原意是‘可比的与‘不可比的。”[2]后来又“派生出‘有理（合乎情理）的与‘无理的的含义。”[3]“”的发现或许是毕达哥拉斯学派的另一个杰出贡献，然而，对信仰“万物皆数”（这里的数是有理数）的毕达哥拉斯学派来说这却是一个毁灭性的打击，希帕索斯也被投进了大海。不过这个发现很快就在社会上流传开来，引起了广泛的争论，史称“第一次数学危机”。

第一次数学危机约在公元前370年由欧多克索斯解决，他将“比”定义为量而不是数之间的数量关系，建立了新的比例理论，从而对无理数“避而不谈”。也就是说，他将数和几何量分开，在数的领域中仍然认为只有有理数，而在几何的领域中，不论几何量是有理数还是无理数，都符合他所建立的比例理论。他的这种处理方法，被收录在《几何原本》的第五卷（比例）中。然而将数和几何量分开的方法仍然没有解决无理数的合法性问题，可以说欧多克索斯的解决是不彻底的，它反而将几何学与代数学“割裂”了，直到17世纪笛卡尔创立了解析几何，几何学与代数学之间的裂痕才逐渐被填上。之后再到19世纪实数理论的建立，无理数的本质才被确定下来，无理数在数学上的合法性才得到承认，第一次数学危机到这里才算真正被解决。

2 第一次数学危机所带来的

（一）、理性的胜利

从历史上看，数学起源于人类早期的生产和生活，主要用来解决实际问题。最初数学知识的来源主要是人们的观察和经验，正整数叫做“自然数”，或许就是从数数开始的。而分数的出现，也许是由于平均分配一匹猎物，或者一块土地的需要。在日常的生产生活中，只需要自然数与分数就足够了，因而“数只有自然数和分数”这个观念随着时间的累积也就变得根深蒂固了。随着生产力的发展，人们慢慢有了闲暇的时间，理性也开始慢慢发芽、生长，当推理和证明慢慢在数学中开始应用，数学逐渐变为求知时，便可能会开始出现反对常识、经验的事实，无理数这个无法捉摸的“幽灵”就是其中之一。在一开始人类心中的数轴上，自然数与分数便可以将其填满，但随着历史的发展，人类渐渐发现数轴并不像起初设想的那么完满，上面应该还有无理数、负数，甚至还有虚数。在某种意义上说，第一次数学危机的实质就是人类的理性与经验常识的一次冲突。当然，对于现在的我们来说，的存在也已经是一个常识，但对于那个时代的人来说，他们的常识并非如此，这次冲突的影响之巨大是毫无疑问的。

面对这次冲突，哲学家中产生了两种反应，赫拉克利特认为存在一个只能由思想来发现的逻各斯，现实中的万物按照逻各斯的原则处在不断生成、毁灭的状态中；而巴门尼德区分了意见之路与真理之路，他认为感觉的对象都是幻觉，唯一的真实存在就是“一”。这个“一”只能由理智来认识到。虽然赫拉克利特的“万物流变”与巴门尼德的“不变的存在”针锋相对，但这两种反应殊途同归。从他们二人的观点中都可以得出，经验世界中的事物是靠不住的，并不能带来真理，而真理只能由理性来获得。“思想是最大的优点，智慧就在于说出真理。”[4]“别让习惯用经验的力量把你逼上这条路，只是以茫然的眼睛、轰鸣的耳朵或舌头为准绳，而要用你的理智来解决纷争的辩论。”[5]真理只能由理性来获得的思想也影响了柏拉图，毕达哥拉斯学派先前把数与万物联系在一起，而在柏拉图的理解中，数已经脱离了现实事物，数学知识是低级的知识，介乎意见和理智之间，柏拉图对可感世界和理念世界的区分代表着理性与感性的二元对立的正式确立。在柏拉图的《蒂迈欧篇》里，柏拉图更是认为物质世界是由神用两种三角形——等边三角形和等腰直角三角形来构造的。讲求逻辑，推理和证明的数学方法——这同时也是理性的标志，在“不懂几何者不得入内”的柏拉图与创立古典逻辑学体系的亚里士多德的推崇之下，逐渐也成为了后世大多数哲学家们所坚持的原则。不久之后《几何原本》这一几何学的“圣经”的成书则是古希腊的理性精神所产生的最伟大的结晶之一。仅从几个自明的公理出发，经过演绎的推理便可以得到许多知识。这个观念在此后近两千年的时间里一直鼓舞着哲学家们去寻找自明的真理，从而搭建起他们自己的哲学大厦。对于经院哲学家来说，这个自明的真理是上帝存在；对于笛卡尔来说，它是“我思故我在”；斯宾诺莎更是直接仿照《几何原本》的形式来阐释自己的哲学思想。公理系统也刺激了自然科学的发展，牛顿的《自然哲学的数学原理》也是按照公理化的模式写成的。公理化模式让数学成为了最有确定性的科学，也让物理学走上了科学的道路，然而哲学或者说形而上学却没有，这让康德去思考其中的缘由，从而写下了那本巨著——《纯粹理性批判》。理性在第一次数学危机之后获得了胜利，直到唯理论与经验论的争论之后它的统治地位才开始松动，不过它一直到现在也并未崩塌。endprint

（二）、无穷问题

无穷问题在第一次数学危机中开始被人们广泛讨论。在希帕索斯发现之后，等于多少呢？由于它不能被表示为两个整数之比，它的值只能用穷举法慢慢接近，首先，它一定是个大于1且小于2的数，因为的平方大于1的平方且小于2的平方；又因为的平方在7/5的平方和3/2的平方之间，所以的值在7/5与3/2之间。如此一直重复，才能確定小数点后的值。现在我们知道，无理数比如、π，它们的小数点后都是无限不循环的，前面的方法只能无限地接近它，却不能穷尽。无穷问题到了巴门尼德的学生芝诺那里变得更加突出，芝诺提出的诸多悖论都涉及到了无穷，他否认了运动的可能性与多的存在。按照数学史的说法，芝诺悖论也是引发第一次数学危机的另一个重要因素。前面提到，第一次数学危机的实质是人类的理性与经验常识的一次冲突，芝诺用理性得出的悖论之所以是悖论，就是因为它们与经验是冲突的。值得一提的是，犬儒主义者第欧根尼一言不发地走来走去来反驳芝诺的悖论时，他的弟子拍手称快却遭到了第欧根尼的呵斥。希腊人的理性精神在此可见一斑，理性产生的悖论只能由理性来解决，因而无穷问题，包括连续性与间断性、整体与部分、有限与无限的问题在此后一直困惑着科学家、哲学家们，理性怎样去理解、把握无穷？这个问题在形而上学、认识论、逻辑学中产生了无穷的争论。莱布尼茨认为的理性的“二迷宫”之一就是关于连续性与间断性的问题。作为微积分的创立者之一，对无穷的思考也促使莱布尼茨提出了他的单子论。康德的四个二律背反也涉及到了无穷问题。康德指出，纯粹理性的二律背反的出现是由于人类用只能适用于经验的先验形式去对物自体做出判断。这在某种程度上表明，无穷这个观念对于理性来说是极难把握的，一旦用理性去思考无穷，很容易就会陷入两难之中。

此外，关于芝诺悖论，亚里士多德划分了潜无穷与实无穷。潜无穷指的是，无穷是在不断延伸着的，永远完成不了的过程，比如“直线可以任意延长”；实无穷则是把无穷看成一个已完成的，现实存在的整体，比如“直线由无穷个点组成”。亚里士多德认为无穷是一种潜在的存在。通过这种方法，亚里士多德反驳了芝诺悖论。以“飞矢不动”悖论为例，亚里士多德否定了时间可划分为无穷个瞬间这个实无穷的观点，从而反驳了这个悖论。这里亚里士多德实际上是回避了无穷的实际存在性，古希腊对无穷的研究也并没有太大的深入。实无穷论与潜无穷论二者此后此消彼长。直到文艺复兴后牛顿和莱布尼茨提出微积分理论，实无穷论才开始占据主流。然而持潜无穷观点的人们也不甘示弱，贝克莱悖论这一反驳无穷小量存在的观点的提出又引发了第二次数学危机。而解决第二次数学危机的精确的极限定义又是一种潜无穷的观点。康托尔创立集合论后，实无穷论再一次抬头，然而第三次数学危机很快又随之而来。实无穷论与潜无穷论的争论实际上涉及到数学基础的问题，可以说，它直到现在也还没有结束。不过，二者的争论也使得数学得到了极大的发展，其影响也不仅限于数学。

3 结语

第一次数学危机冲击了当时希腊人对数的观念，但同时也刺激了数学的发展，并且对哲学的发展也作出了贡献。并且从某种意义上说，第二次、第三次数学危机也是由第一次数学危机所引起的。发展本来就是曲折性和前进性的统一，危机不仅仅只是危机，同样也是发展的契机。数学的发展对哲学来说是一个很好的参照，许多哲学家如笛卡尔、罗素等同时也是一个数学家。研究数学的发展，对研究哲学来说不失为一个很好的角度，同时也是一个很有必要的角度。

注释

[1]罗素著，何兆武、李约瑟译：《西方哲学史（上卷）》，商务印书馆1977年版，第60页。

[2]韩雪涛：《数学悖论与三次数学危机》，湖南科学技术出版社2006年版，48页。

[3]韩雪涛：《数学悖论与三次数学危机》，湖南科学技术出版社2006年版，48页。

[4]《西方哲学原著选读》，商务印书馆1981年版，25页。

[5]《西方哲学原著选读》，商务印书馆1981年版，31页。

参考文献

[1]罗素著；何兆武、李约瑟译.《西方哲学史（上卷）》[M].商务印书馆，1977

[2]韩雪涛.《数学悖论与三次数学危机》[M].湖南科学技术出版社，2006

[3]北京大学哲学系外国哲学史教研室编译.《西方哲学原著选读》[M].商务印书馆，1981

作者简介

张晓东（1992-），男，白族，云南大理人，西南民族大学马克思主义学院15级硕士研究生，研究方向：西方哲学史。endprint