为什么一次分式函数的图像是双曲线？

张新全+邓珍珍

【摘要】利用函数图像变换定理，探究了一次分式函数图像和双曲线的关系，从而得出一次分式函数的图像就是双曲线.通过这一探究过程，使我们更加形象地理解一次分式函数及其图像.

【关键词】一次分式函数；图像变换；双曲线

一、问题的提出

在学习一次分式函数y=ax+bcx+d（c≠0，bc-ad≠0，a2+b2≠0）时，我们说它的图像是双曲线.一次分式函数的解析式与双曲线的标准方程差别很大，为什么说一次分式函数的图像是双曲线呢？本文将做一探究.

二、问题的探究

由于y=ax+bcx+d=ac+bc-adc2x+dc，所以将y=1x的图像向左（cd>0）或向右（cd<0）平移dc个单位得到y=1x+dc的图像，再将y=1x+dc的图像上点的横坐标不变、纵坐标变为原来的bc-adc2倍得到y=bc-adc2x+dc的图像，再将y=bc-adc2x+dc的图像向上（ac>0）或向下（ac<0）平移ac个单位得到y=ax+bcx+d的图像.由此可知，y=ax+bcx+d（c≠0，bc-ad≠0，a2+b2≠0）的图像可由y=1x的图像通过平移变换和伸缩变换得到.

那么y=1x的图像是什么曲线呢？曲线在变换下的形状是否变化呢？在中学数学范围内，要完全清楚地回答这两个问题是比较困难的，下面我们给出如下两个引理：

引理1 在平移变换与旋转变换下，任何曲线的大小和形状不变.

证明从略.

引理2 在伸缩变换下，椭圆变为圆或椭圆，双曲线和抛物线的形状不变.

在平面直角坐标系中，建立适当的坐标系，在标准方程下结论2易证，此处从略.

下面探究y=1x的图像是双曲线.

在直角坐标系中，作旋转变换x=x′cosθ-y′sinθ，y=x′sinθ+y′cosθ， 代入y=1x，并化简得：

12x′2sin2θ-12y′2sin2θ+x′y′cos2θ=1.①

令cos2θ=0，取θ=π4，代入①，得：

x′22-y′22=1.②

方程②表示等轴双曲线，据变换的可逆性及引理1可知，y=1x也表示等轴双曲线.

由y=1x到x′22-y′22=1的旋转变换x′=22（x+y），y′=22（y-x）， 得：双曲线y=1x的中心是原点（0，0），焦点为（2，2）与（-2，-2），对称轴为y=±x，渐近线为x=0与y=0，顶点为（1，1）与（-1，-1），准线为y=-x±2k，离心率e=2.

三、一次分式函数的性质

由上述讨论可知，y=kx（k>0）的图像是等轴双曲线，其中心是原点（0，0），焦点为（2k，2k）与（-2k，-2k），对称轴为y=±x，渐近线为x=0与y=0，顶点为（k，k）与（-k，-k），准线为y=-x±2k，离心率e=2.类似地，同理可得，y=kx（k<0）的图像是等轴双曲线，其中心是原点（0，0），焦点为（-2k，--2k）与（--2k，-2k），对称轴为y=±x，渐近线为x=0与y=0，顶点为（-k，--k）与（--k，-k），准线为y=x±-2k，离心率e=2.

通过平移变换（以下记bc-adc2=k），我们可以得到如下结论：

定理1 y=ax+bcx+d（c≠0，bc-ad>0，a2+b2≠0）的圖像是等轴双曲线，其中心是点-dc，ac，焦点为-dc+2k，ac+2k与-dc-2k，ac-2k，对称轴为y=ac±x+dc，渐近线为x=-dc与y=ac，顶点为-dc+k，ac+k与-dc-k，ac-k，准线为y=-x+a-dc±2k，离心率e=2.定理2 y=ax+bcx+d（c≠0，bc-ad<0，a2+b2≠0）的图像是等轴双曲线，其中心是点-dc，ac，焦点为-dc+-2k，ac--2k与-dc--2k，ac+-2k， 对称轴为y=ac±x+dc，渐近线为x=-dc与y=ac，顶点为-dc+-k，ac--k与-dc--k，ac+-k，准线为y=-x+a-dc±-2k，离心率e=2.

通过上述探究，我们不仅知道y=1x与y=kx的图像是等轴双曲线，也彻底清楚了一次分式函数的图像是等轴双曲线，理清了三者图像间的关系.

【参考文献】

[1]刘绍学，钱珮玲，章建跃.普通高中课程标准实验教科书数学必修1[M].北京：人民教育出版社，2007：1-44.

[2]葛军，涂荣豹.初等数学研究教程[M].南京：江苏教育出版社，2009.

[3]许璐，许绍元.关于线性分式函数的n次迭代及其应用[J].数学的实践与认识，2006（6）：225-227.endprint