抛物线焦点弦性质探讨

董航校+陈涛涛

【摘要】在倡导素质教育及探究式教学的今天，开拓学生思维及钻研精神已成为教师的使命.下文以探究抛物线焦点弦许多有趣的性质为例，以提高学生探索精神.

【关键词】焦点弦；准线；中点；相切；垂直；平行

设抛物线y2=2px（p>0），焦点弦AB，焦点F，A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-p2.

证 由y2=2px，y=kx-p2， 得y2-2pky-p2=0，

y1+y2=2pk，y1y2=-p2，

∴x1+x2=y212p+y222p=12p[（y1+y2）2-2y1y2]

=12p4p2k2+2p2=2pk2+p.

一、焦点弦长

|AB|=x1+x2+p=2p1k2+1=2pcos2θsin2θ+1=2psin2θ，

其中为θ为AB倾斜角.

特殊情况：1.θ=90°时|AB|=2p，即通径长.

2.由k2=sin2θ1-sin2θ及k=2py1+y2得|AB|=12p|y1-y2|2sinθ=2p|y1-y2|.

二、焦点弦有关的S△AOB面积

S△AOB=p22sinθ.

证 S△AOB=12|AB|p2sinθ=142psin2θpsinθ=p22sinθ=p4|y1-y2|.

三、焦点弦性质如下

图1

性质1 由焦点弦两端点分别作准线的垂线，两垂足与抛物线焦点的连线相互垂直.

证 kSF·kFT=y1-p·y2-p=y1·y2p2=-p2p2=-1.

性质2 过焦点弦的一端作准线的垂线，垂足、原点、焦点弦的另一端点，这三点共线.

图2

证 kOA=y1y2=2py1y21=2py1，

kOT=y2-p2=-2y2p

=-2·-p2y1p=2py1，

∴A，O，T三点共线.

推论 延长AO交准线于T，则BT∥x轴.

证 OA：y-y1=y1x1（x-x1），

令x=-p2得y=-p2y1=y2，

则BT∥x轴.

性质3 以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切.切点与弦两端点连线与抛物线相切.

证 （1）取焦点弦AB的中点M过M作x轴垂线交准线于P，

|MP|=12（|AS|+|BT|）=12|AB|，

图3

∴|MP|=|MA|=|MB|，

∴A，P，B三点共圆且以AB为直径，与准线相切.

（2）kPA=y1+y22-y1-p2-y212p=py1

（p2=-y1y2）.

由y-y1=py1（x-x1），y2=2px， 得y2-2y1y+y21=0，

（y-y1）2=0，Δ=0，

∴PA与抛物线相切.

同理PB与抛物线也相切.

注：① 此结论是画过焦点弦端点切线的方法.

② 过A点切线方程y1y=p（x+x1）.

性質4 过抛物线焦点弦两端的切线互相垂直.

证 由性质3得过焦点弦两端的切线，

L1：y-y1=py1（x-x1），

y1y-2px1=px-px1，

y1y=p（x+x1）；

L2：y2y=p（x+x2），

∴k1·k2=py1·py2=p2-p2=-1，

∴两切线互相垂直.

图4

性质5 过抛物线焦点弦两端切线的交点与焦点连线和焦点弦互相垂直.

证 kPF=y1+y22-p=2p2k-p=-1k，

kAB=k，

∴kPF·kAB=-1，PF⊥AB.

也可以叙述为以PA（PB）为直径的圆过焦点F易得△APN≌△APF，则PA平分∠NPF（推论）.

四、焦点弦中点轨迹也为抛物线

证 设焦点弦A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P（x′，y′）则

x′=x1+x22=y21+y224p=（y1+y2）2-2y1y24p=4y′2+2p24p，

y′2=px′-p2，

轨迹是以p2，0为顶点，焦准距为原抛物线焦准距的一半.

小结：

（1）性质证明与抛物线定义密切相关，又与直线的垂直平行证明的基本方法相关.

（2）解析几何问题用平面几何知识解决较方便.

（3）得到许多有趣结论都与y1y2=-p2有关.

（4）通过焦点弦为直径作圆可以准确地做出抽象的焦点弦端点切线，还有许多平行、垂直结论，多有趣.endprint