构造函数证明含有指数和对数的不等式

龚世杰

【摘 要】证明函数不等式的的方法有很多，通常可以构造函数，构造函数中，当含有指数函数或是对数函数时，由于求导数之后导函数的零点不好确定，导致分析原函数的单调性会变得困难，本文主要研究了如何把函数不等式拆成两个函数，从而将问题转化为两个函数最值之间的比较，这样表解决了部分函数求导之后导函数很复杂的问题。

【关键词】 证明不等式 构造函数 指数与对数 最值

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）36-0177-01

在选修的课本中介绍了指数函数与对数函数及幂函数的增长速度的问题，这里便为我们研究构造函数的问题提供了一种思路，在利用函数证明不等式的时候，构造由幂函数与指数函数及对数函数构成新的函数，将题目中给出的不等式，经过合理的变换，使之变成的形式，然后再利用导数得到在定义域上，从而得出不等式成立，在思路上比较简洁，但是难点在于如何构造函数，使得能得出及，而在构造函数当中，最难处理的是遇到指数函数和对数函数的问题时.本文从几个常见的函数类型出发，研究函数的构造方法。

1 构造成类型函数

若函数则对任意，在上单调递增，在上单调递减，.

例1 已知，求证：当时，

解析 要证，

即证，令，，.因为，所以恒成立，所以在上单调递减.故.

又因为，当时恒成立，故.所以恒成立，故当时，.

评注 若采用一般的方法构造函数，即构造函数，再证时，对求导，，导数的零点不好求，导致单调性无法判断，无法进行下一步的运算。

2 构造成类型函数

若，则当在上单调递增，在上单调递减，.当时，在上单调递减，在上单调递增，，

特别的，当时，若，在上单调递减，在上单调递增，，若，在上单调递增，在上单调递减，

例2 已知函数.，证明：当时，不等式恒成立.

解析 要证，即证成立，

令，

下证.，得，故在上单调递减，在上单调递增，所以.，，得，故在上单调递增，在上单调递减，所以，故，即当时，不等式恒成立.

评注 若构造函数，再证时，对求导，，再令，则在上单调递增且存在零点，故存在零点，但零点无法计算得出，将零点整体代换有难度，导致无法进行下一步的运算。

例3 已知函数，证明：当时，不等式恒成立.

解析 要证，即证，令，，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，，故在上单调递增，在上单调递减，所以，故，故当时，不等式恒成立.

3 指数类型函数的构造

若将函数及函数中替换为，则可得及具有类似的单调性及最值.

证明：对一切，都有成立.

解析 要证，即证，令，，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，，故在上单调递增，在上单调递减，所以，故，则有成立.

参考文献：

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[2]沈文選，杨清桃.高中数学竞赛解题策略[M].浙江大学出版社，2012.

[3]方秦金.构造函数法证数列不等式的几种思考途径[J].中学数学杂志（高中版），2010（1）.