RN上一类p-Kirchhoff型方程正解的存在性
2018-01-29惠艳梅刘进生
惠艳梅， 刘进生
(太原理工大学 数学学院， 山西 太原 030024)
本文研究p-Kirchhoff型方程
(1)
正解的存在性. 其中常数a,b>0, 1 由于Kirchhoff型方程的重要性, 近年来, 很多学者研究了如式(2)的Kirchhoff型问题 (2) 非平凡解的存在性[1-5]. 最近, 文献[6]又研究了非线性项f具有临界增长的Kirchhoff型问题 (3) 正解的存在性.本文主要将问题(3)中p=2的情形推广到任意p的情况,并且对空间维数N没有限制. f1)f∈C(R,R ) 是奇函数； f4) ∃D>0,q∈(p2,p*)使得当s>0时,f(s)+msp-1≥sp*-1+Dsq-1； 本文主要结论为 定理[8]假设p2 1)p2 对任意的1≤s≤+∞, |·|s表示通常的Lebesgue 空间Ls(RN)上的范数. 对固定的常数a,m>0, 在W1,p(RN)中引入等价范数, 即u∈W1,p(RN)时定义 可以证明问题(1)所对应的能量泛函是 引理1[8]设E是实Banach空间,I∈C1(E,R), 满足条件 1)I(0)=0, 并且存在ρ>0， 使得I|∂Bρ(0)≥α>0； 令 Γ={γ∈C([0,1],E)|γ(0)=0,γ(1)=e}, 记 那么c≥α， 并且I关于c存在临界序列. 若I还满足(PS)c条件, 则c是I的临界值. RN)= {u∈W1,p(RN)∶u(x)=u(|x|)}. 进而由对称临界原理知道, 我们只需证明由式(4)定义的泛函I在E中存在正临界点即可. 引理2 当p2 证明I(0)=0显然成立. 记g(s)=f(s)+m|s|p-2s, 由条件f1)～f3)可知, 对任意的ε>0, 存在Cε>0使得 |g(s)|≤ε|s|p-1+Cε|s|p*-1.(5) 注意到p 根据引理1及引理2, 我们知道由式(4)定义的泛函I在E中存在(PS)c序列{un}. 为了证明{un}在E中满足(PS)c条件, 我们需要给出c的一个上界并证明{un}在E中是有界的. 记空间D1,p(RN)={u∈Lp*(RN)∶u∈Lp(RN)}, Sobolev最佳嵌入常数 注意到p2 (6) 有唯一的正实根, 记为μ. 定义 (7) 由式(6)得 引理3 若定理1的假设条件成立, 则c 证明对任意的ε,r>0, 取Uε(x)=φ(x)U(x,ε), 其中 直接计算得 且当p2≥N时, 有 (9) 当p2 t∈[p,p*).(10) 将t分段进行讨论： 3) 当t′ 定义 t≥ 0， 则有 y′(t)= 由此容易证明y(t)存在唯一的最大值点tε>0, 并且y′(tε)=0. 令 F(t,Aε,Bε,Cε)=Aεtp+Bεtp2-Cεtp*. 又 结合式(8)， 可知当ε→0时, 有 所以由式(6)可知 F(μ,A0,B0,C0)=0, 而 (p2-p*)bSNμp2-p<0. 由隐函数定理可知, 在点(μ,A0,B0,C0)附近方程F(tε,Aε,Bε,Cε)=0可以确定隐函数 tε=g(Aε,Bε,Cε), 从而由隐函数的连续性知当ε→0时,tε→μ, 将其在点(A0,B0,C0)处Taylor展开得到 tε=g(A0,B0,C0)+ 其中 由式(8)～式(10)知 tε=μ+O(εα), 其中 (11) 于是， 将函数y(t)中的每一项都在t=μ点Taylor展开, 计算得到 y(tε)=c*+O(εα), 而当t′ 综合(1), (2), (3)可知在定理1的假设条件下c 引理4 当p2 证明一方面, 当n→∞时,I(un)→c,I′(un)→0, 则 (12) 式中：εn→0(n→∞). 另一方面， 有 注意到p>1, 故由式(12)与式(13)知{un}是有界的. 定理的证明我们只需证明由式(4)定义的泛函I满足(PS)c条件即可. 假设{un}⊂E, 满足I(un)→c,I′(un)→0. 由引理4知{un}是有界的, 于是对{un}的某个子列仍记为{un}, 存在u∈E, 使得 (14) 由集中紧性原理[9], 结合空间E的特性知对于{un}, 存在η0,v0≥0使得在测度意义下有 |un|p⇀dη≥|u|p+η0δ0,(15) |un|p*⇀dv=|u|p*+v0δ0,(16) (17) 从而η0,v0>0, 再结合收敛性结论(14)和条件f5), 计算得到 对于函数 结合式(18)得到c≥c*这与引理3的结论矛盾, 故η0=v0=0. 而由文献[10]可知 其中 仍然利用方程(6), 结合c 结合Fatou引理, 可得 得 记h(u)=g(s)-|u|p*-2u. 由I′(un)→0, {un}的有界性以及式(14)可得 o(1)=〈I′(un)-I′(u),un-u〉= 由Hölder不等式、 {un}的有界性、 式(21)以及文献[12]中的引理2可得 (23) 因为un⇀u, 且{un}有界, 又得 由文献[11]知存在正常数Cp, 使得对任意的ξ,η∈RN, 有 (|ξ|p-2ξ-|η|p-2η)(ξ-η)≥ 由式(26)、 Hölder不等式及{un}的有界性知存在正常数C， 使得 且 (28) 则由式(22)～(28)可知 所以 因此‖un-u‖→0, 结合un⇀u, 可得un→u. 按照上面的计算, 用I+(u)代替I(u), 有 由f1)知,h是奇函数, 且当t>0时,h(t)>0, 则式(30)变为 [1] He Xiaoming, Zou Wenming. Existence and concentration behavior of positive solutions for a Kirchhoff equation in R3[J]. Journal of Differential Equations, 2012, 252(2): 1813-1834. [2] Cheng Bitao. New existence and multiplicity of nontrivial solutions for nonlocal elliptic Kirchhoff type problems[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2012(394): 488-495. [3] Cheng Bitao, Wu Xian. Existence results of positive solutions of Kirchhoff type problems[J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 2009, 71: 4883-4892. [4] Liu Zhisu, Guo Shangjiang. Existence of positive ground state solutions for Kirchhoff type problems[J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 2015, 120: 1-13. [5] Wu Yue, Liu Shibo. Existence and multiplicity of solutions for asymptotically linear Schrödinger-Kirchhoff equations[J]. Nonlinear Analysis Real World Applications, 2015, 26: 191-198. [6] Liu Zhisu, Guo Shangjiang. On ground states for the Kirchhoff-type problem with a general critical nonlinearity[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2015(426): 267-287. [7] Liu Jiu, Liao Jiafeng, Tang Chunlei. Positive solutions for Kirchhoff-type equations with critical exponent in RN[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2015(429): 1153-1172. [8] Rabinowitz P H. Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations[M]. New York: American Mathematical Soc, 1986. [9] Xuan Benjin. Variational Methods-Theory and Applications[M]. Hefei: University of Science and Technology of China Perss, 2006. [10] Chabrowski J. Concentration-compactness principle at infinity and semilinear elliptic equations involving critical and subcritical Sobolev exponents[J], Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 1995(3): 493-512. [11] Júlio F, Corrêa S A, Figueiredo G M. On an elliptic equation ofp-Kirchhoff type via variational methods[J]. Bulletin of the Australian Mathematical Society, 2006, 74(2): 263-277. [12] Strauss W. Existence of solitary waves in higher dimensions[J]. Communications in Mathematical Physics, 1977(55): 149-162.
1 基本引理
2 主要结论的证明
