数学归纳法复习导航

邵红

数学归纳法是高中数学的基本方法之一，“考纲”不仅要求我们掌握数学归纳法的原理及其步骤，还要求我们能用数学归纳法证明一些简单的数学命题和综合性问题.尤其对于江苏高考（理科）附加题中的最后一小题往往离不开数学归纳法.

那么，什么是数学归纳法？

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立；

（2）（归纳递推）假设n=k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫作数学归纳法.

那么，数学归纳法能帮助我们破解哪些问题呢？

一、利用数学归纳法证明等式

2.“归纳——猜想——证明”的主要题型

（1）已知数列的递推公式，求通项或前n项和.

（2）由一些恒等式、不等式改編的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在.

（3）给出一些简单的命题（n=1，2，3，…），猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.

有道是“樱桃好吃树难栽”，数学归纳法证题“规则”不可忘！本文最后总结出5点数学归纳法的“精髓”，也算是给同学们的“友情提示”吧！

1.应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有“归纳假设”的证明不是数学归纳法.

2.证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设.然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论.

3.与自然数有关的不等式，有时也可用数学归纳法证明.在证明过程中，要运用不等式的性质.

4.因为证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由n=k成立，推导n=k+1不等式也成立时，过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用.如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式等价的命题.

5.利用数学归纳法证明整除性问题时，第二步一般先将n=k+1代入原式，然后将式子作适当的恒等变形，凑出归纳假设，这是证题的关键和难点.endprint