“任意”脚扑朔，“存在”眼迷离

福建省南平市第一中学 潘 凌

“雄兔脚扑朔，雌兔眼迷离；双兔傍地走，安能辨我是雄雌？”出自《木兰诗》，多用于指事情重杂，而“任意”与“存在”好像雄兔与雌兔，在题中让大多数学生“傻傻分不清”，从而束手无策。函数中的任意性与存在性问题，是函数、方程、不等式等内容交汇处的一个十分活跃的知识点，常与导数工具的灵活应用相结合，同时与数形结合、分类讨论等数学思想紧密联系，使题型更加多变，因此常受到高考命题者的青睐。这类题型常有以下三种情形：一是单函数、单变量中的任意与存在性问题；二是双函数、双变量中的任意性与存在性问题（存在存在型、任意任意型）；三是双函数双变量中的任意存在问题（任意存在型）。

一、单函数、单变量中的任意与存在性问题

此类解题过程中常有如下结论：

以上结论的获得可以借助生活例子引入（实验方法）或借助函数图象（数形结合思想）。

方法一：借助生活例子引入（实验方法）

例如对于结论1，我们可以用甲班的数学成绩打比方：有个人比甲班的任何一个学生的成绩都要高，这个人的数学成绩需要满足什么条件？答案是这个人的数学成绩应高于甲班分数最高的（即大于最大值）。

例如对于结论3，我们同样用甲班的数学成绩打比方：有个人比甲班的某个学生成绩高，这个人的数学成绩需要满足什么条件？答案是这个人的数学成绩高于甲班分数最低的（即大于最小值）。

例如对于结论5，我们同样用甲班的数学成绩打比方：有个人比甲班的某个学生成绩一样高，这个人的数学成绩需要满足什么条件？答案应是这人的数学成绩介于最低分和最高分之间，即落在甲班学生成绩构成的值域内。

方法二：借助函数的图象（数形结合思想）

二、双函数、双变量中的任意性与存在性问题（存在存在型、任意任意型）

恒成立，则只需

方法一：借助生活例子引入（实验方法）

例如对于结论6，我们可以用甲班和乙班的数学成绩打比方：甲班的任何一个学生的成绩要高于乙班的任何一个学生成绩，那么甲班和乙班的学生成绩需要满足什么条件？答案是甲班的最低分数高于乙班的最高分数。

方法二：借助单函数、单变量中的任意与存在性问题

三、双函数、双变量中的任意性与存在性混合型问题（任意存在型）

同样地，借助单函数、单变量中的任意与存在性问题考虑：

纵观以上13个结论，实际上都是以前5个为基础的一些变化，同时，对函数中的存在性与任意性问题，若是不等关系，则转化为函数的最值问题，若是方程问题，则转化为函数值域问题。另外，以上的结论都是在默认函数最值存在的前提下，若给定区间为非闭区间或函数非连续时，其最值可能无法取到，此时须确定其上（或下）界，并考虑等号能否取得。

此类问题关键是对“任意”“存在”意义的理解，当然还有很多问题可以等价转化为任意或存在问题去求解，只要我们充分利用所给定函数的特点和性质，具体问题具体分析，选用恰当的方法对问题进行等价转化，就能使问题获得解决，只有这样，才能提高分析问题和解决问题的能力。

【参考文献】

[1]傅建红．聚焦函数中的任意性与存在性问题[J]．高中数学教与学，2012（6）．