诗意数学——直线的斜率

江苏省常州高级中学 丁明明

只要我们用心体会，生活中无处不透露着数学之美。数学来源于生活，以生活为出发点，让数学插上诗意的翅膀，不仅可以让原本抽象难懂的数学充满诗意、趣味，也可以让我们用更具体的意向来理解数学中的公式、内容。 笔者以“直线的斜率”这堂课为例，课堂加入诗的意境，让课堂更加活泼开放，在诗情画意中感受思维的内涵，体会数学之美。

开场白：数学充满理性，诗歌却是满满的感性，若能两者结合，将是一种完美的呈现，正如我的学生每天打开作业本的时候就像是打开一扇窗户，感觉面朝大海，春暖花开。

看似毫不相干的两个东西，如果我们将它放在一起，或许能创造出惊人的魅力。正如数学中的代数与几何，在很久以前它们就像是两个不相干的人，各自独立存在着，而在笛卡尔与费马之后，两者真正走到了一起。

一、问题情景

1.情景：

我锁定一个_______，

它和我连成_______ 。

前面有许多的河，

让我不得不转弯。

那边还有许多山，

忽高忽低让我难，

谁知还有多少难，

无可奈何向前看。

师：将这首诗补充完整，两处空格应该填什么呢？

生：方向、直线。

师：人生之路要达到目的地，最快的就是走直线，而走直线最好的方法就是瞄准方向。

师：今天这堂课就和大家一起来研究直线的方向。

2.问题：直线有哪些不同的方向呢？

我们到底用什么量来刻画直线的陡峭程度呢？

二、学生活动

问题1：观察类比：如右图所示，两个不同的楼梯，如何表示它们的坡度?

通过展示楼梯的图形，让学生有一个感性认识，体验坡度是由什么来确定的。

学生2：可以用角度：角度越大，坡越陡。

师：这两种方式都非常好，这正好体现了两种不同的人生态度与追求方式。用角度：每一次仰望星空，都是为了追问心灵的方向。用比值：只有脚踩大地，我们才能感受到生命的温度。

问题2：我们可以测量有限的空间，那么无限的空间里，我们如何把握呢？我们如何在平面直角坐标系中去衡量呢？

三、建构数学

师：当我们给出一个定义的时候，我们需要注意几个问题：它合理吗？（不能自相矛盾）它全面吗？（不能有漏网之鱼）它准确吗？（不能模棱两可）

1．直线的斜率

定义：已知两点P（x，y），Q（x2，y2）， 如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率为：

注意：与x轴垂直的直线，其斜率不存在。

2．概念辨析

思考：斜率是一条直线的倾斜程度的数量化，是直线本身固有的性质，但是斜率可以由直线上两点的坐标给出，那么斜率公式与这两点的顺序是否有关？与直线上两点的位置选择是否有关？为什么？

引导学生思考并回答：（1）通过斜率公式本身来理解；（2）通过相似三角形来理解。

3．直线的倾斜角

（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或者重合的直线的倾斜角为0°。

（2）范围：α∈[0°，180°）。

四、数学运用

例1 直线l1，l2，l3都经过点P（3，2），又l1，l2，l3分别经过点 Q1(-2，-1)，Q2（4，-2），Q3（-3,2）。试计算直线 l1，l2，l3的斜率。

点评：（1）本例意在巩固斜率公式；（2）k＞0，k＜0，k=0及k不存在时直线的形状，让学生通过画图体验数形结合。

探究问题：观察各直线的特点，你能说说各直线的方向与它的斜率的关系吗？为什么？

引导学生回答：当k＞0时，直线从左下到右上倾斜；当k＜0时，直线从左上到右下倾斜；当k=0时，直线与x轴平行或者重合。可从斜率公式本身解释。

师：做到这里我们不禁想到：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层。

探索：斜率和倾斜角都能反映一条直线的倾斜程度，其中斜率侧重于“数”，倾斜角侧重于“形”，那么它们之间的关系怎样？

分直线的倾斜角为锐角（见图1）和直线的倾斜角为钝角（见图2），启发学生利用斜率的定义发现：k=tanα（注：tan（180°-α）=tanα）

点评：（1）直线的倾斜角α是角且总是存在的，范围是0°≤α＜180°，而直线的斜率k是实数但未必总是存在的。

（2）①当α≠90°时，k=tanα；②当α=90°时，k不存在；③当α=0°时，k=0；④当α为锐角时，k＞0且k随α的增大而增大；⑤当α为钝角时，k＜0且k随α的增大而增大。

师点评：天下同归而殊途，一致而百虑。

例2 如右图，比较四条直线斜率的大小：

五、回顾小结

1.经过两点的斜率计算公式；

2.直线倾斜角的概念；

3.直线的斜率与倾斜角的关系。

直线的斜率为苏教版解析几何的第一堂课，所以这堂课也是学生对于解析几何认识的开始。

对于这堂课，笔者有如下思考：

1.诗意数学，那是感性与理性的碰撞，而解析几何正是数和形的完美结合，要让学生感受到诗的意境，但同时不会忘记，这是一堂数学课，学生最终要收获的是数学知识与数学思维能力。所以整堂课的主要脉络是以数学知识构建为线索展开的，诗意可以看作是一种语言。

2.以一首诗为切入点，引出直线与方向，以一种生动活泼的形式进入这堂课的主题，让学生充满好奇与期待。在选择直线方向的时候，利用生活的意境进行引入，从具体到一般抽象出一般性问题。而这堂课的主要脉络是倾斜角与斜率两条脉络，这两条脉络笔者解释为仰望星空与脚踏实地两种不同的方式，既是一种类比，也是角度的不同，选择故而不同，而两者的联系正是数和形的结合，也正是两种不同姿态的需求。

3.对于数学知识方法的总结可以利用诗句的意境进行类比体会，用一种更为丰富的语言进行诠释，更能体会数学的意境所在，同时也更好地说明了数学与生活的紧密相连。整堂课似乎在说诗，但其内涵都是数学，让数学更加丰富、更加魅力。

总而言之，数学之美无穷无尽，如果我们带着审美的姿态去学数学、教数学，不仅能够让学生感受数学的魅力，也是在体会数学的精髓，诗意数学只是一种小小的尝试，数学的博大需要我们一直去探索。