例谈小学高段数学中的“利模”与“建模”——以人教版小学数学六年级上册部分内容为例

四川省广汉市向阳镇学校 俞文勤

何为建模，我的理解是：用简练的、高度概括的数学语言去表达所研究的对象，获得同类问题的最基本解决方法，从而达到高效快捷解决问题的目的。何为利模，顾名思义，则是运用旧有知识系统中已经建立的数学模型去解决新的实际问题。“利模”与“建模”，仅一字之差，却道出了小学数学中关于数学建模的基本思想及教学精髓，建模是为了利模，而有时候利模又是建立新的模型的基本方法甚至是唯一方法，二者相得益彰。小学数学课程标准更是对建立模型的意义提到了很高的地位——模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。

小学各年段教材中，都有一些利于培养数学建模思想的典型例题。到了小学高段尤其是六年级，学生头脑中已经建立了不少的数学模型，这时候就需要引导学生巧妙地利用数学模型去解决新的问题。而高段数学中的一些规律性的较为复杂的问题，又需要建立新的数学模型。哪些问题必须凭借数学模型来搭建学生的认知平台？哪些知识又需要建立新的模型，从而让学生凭借数学模型达到举一反三的目的？这是执教高段数学需要思考的问题。

一、巧妙利模，顺利建模

六年级教材中某一些新知识，必须得利用到之前学到的模型，如工程问题中要用到工作效率×工作时间=工作总量这个基本模型，如分数除法例2的列式依据必须得用到路程÷时间＝速度这一模型。在初步引入一个数乘分数的意义时，利用旧的模型建立新的模型，更是体现得淋漓尽致。具体教学流程如下：

六年级数学上册第一单元例2：一桶水12升，3桶水有多少升？1/2桶水有多少升？1/4桶水有多少升？此例题主要教学目的是理解一个数乘分数的意义，知道求一个数的几分之几可以用一个数乘几分之几。在教学实践中发现，如果在学生理解题意后，让学生独立列式，学生的答案只有：（1）12×3＝36（升）；（2）12÷2＝6（升），12÷2×1=6（升）；（3）12÷4＝3（升），12÷4×1=3（升）。几乎没有一个学生会用12×1/2，12×1/4，教学一个数乘分数的意义便遇到了瓶颈。此时应该怎样将学生的思维引向乘法算式？这时候，以往所学的模型就能派上用场了。利用第一小题，不难引导学生回忆出这样的模型：每桶水的体积×桶数=水的总体积，接着问：“后面两个小题可否也用这样的思路呢？”，学生很容易得出12×1/2，12×1/4，此后，再问：“这两个算式表示什么意义呢？”学生就可以顺利说出“表示12升的1/2是多少，表示12升的1/4是多少？”这样建立的认知印象会很深刻，因为不是由教师直接强加给学生的。最后，教师别忘了立即追问：“那如果求12升的3/4是多少？你可以怎样列式？遇到其他的求一个数的几分之几是多少，可以怎样列式？”学生便能兴奋地发现：一个数×几分之几就可以求一个数的几分之几。显然，这又是一种新的建模，这个模型将要贯穿整个一单元“分数乘法”。

二、适时建模，以便利模

小学数学六年级上册，分数乘法和分数除法占了很大的比重，其中的分数乘除法应用题，更是让老师们屡教屡头疼，而五单元百分数应用题又基本上是以分数乘除法问题做基础的。怎样让学生解决此类问题得心应手？这就需要适时建立必要的模型并引导学生巧妙地利用模型。

1.适时建立单位“1”的量×分率＝分率对应量这样一个基本模型

在教学分数乘法单元，尽管单位“1”的量×分率＝分率对应量这个基本模型已经被普遍应用，但我并没有急于给出这个模型，我认为这个模型应该是在学生已经能够熟练地求“一个数的几分之几”，熟练找寻单位“1”的量、分率、分率对应量以后，自己总结、发现而得出。所以，在“分数乘法”单元结束即将开始“分数除法”单元教学之前，我特意安排了一组例题进行集中分析：

请找寻单位“1”并写出数量关系式：

（1）六一班女生数是全班人数的3/7；

（2）今年营业额的3/4等于去年的营业额；

（3）甲数占乙数的10/11。

当学生写出三道题的关系式以后，我引导：这三个关系式有什么共同特点？

学生就会发现都是用单位“1”的量×分率=分率对应量，而后，我告诉学生：这是一个非常重要的发现，这个关系式必须牢记，所有含分率的关系句都可以写出这样的基本关系式。

2.巧妙利用单位“1”的量×分率＝分率对应量，解决分数除法问题

在教学“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题时，我会在课前复习就搬出单位“1”的量×分率＝分率对应量这个模型，问：如果一道题不知道单位“1”的量，知道分率和分率对应量，你觉得可以怎样解决？经过短暂思考学生即可知道可以利用这个关系式将单位“1”的量设为x，列方程解决或者用分率对应量÷分率求得单位“1”的量。之后，我会直接出示书上例题，让学生独立完成并积极交流，实践证明这样教学分数除法应用题高效、省事。

在教学已知“比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数”的问题时，我除了教学例题中介绍的利用等量关系“一个数+一个数×几分之几=已知数”用方程解决，更多的精力则用在了沟通知识之间的联系，再次充分利用“单位“1”的量×分率=分率对应量”来解决。

例如：小明的体重是35千克，他的体重比爸爸的体重轻8/15，，小明爸爸的体重是多少千克？

引导学生直接思考或者利用线段图思考得出：小明的体重相当于爸爸体重的1-8/15，然后利用这个发现得出关系式：爸爸的体重×（1-8/15）＝小明的体重，再引导学生想此时爸爸的体重不知道要求，你可以得出几个方法？学生有了之前的模型，无需老师告知便可得出求单位“1”的量，可以将单位“1”的量设为x，列方程解决或者用分率对应量÷分率。

这之后，我会安排一组对比题，专门让学生发现“比”字句叙述的题目可以转化成“是”字句叙述的题目，转化后，他们同属于一种类型，这样沟通联系后，学生便会觉得这一类问题并不难，只是多了转化的一步。

六年级上册教材中需要先建模后利模之处比比皆是：如求一个数是另一个数的几分之几，需要建立分率对应量÷单位“1”的量=分率这个模型；甲比乙多几分之几，乙比甲少几分之几这样的题目时，则需要通过分析得出“相差数量÷单位“1”的量=相差数量对应的分率”这个模型；在求周长差时，除了常规思路，还可建立直径差×π=周长差，或者建立半径差×2π=周长差这样的模型……当然，几何教学中的圆周长、圆面积的公式推导及运用，更是最为基本的、典型的先建模而后利模。

在数学模型思想教学中，如果教师善于去总结，善于站在学生的角度去思考问题，就会自觉地引导学生去建模、利模，而不会只是把数学模型硬生生地告诉学生，让学生也是硬生生地记住和应用，那样得来的知识终归是囫囵吞枣，不知个中滋味。