对2017年江苏高考数列题的多种方法证明以及推广

江苏省南京市金陵中学河西分校 李菲菲 姜 宁

题目：对于给定的正整数k,若数列{an}满足：an－k+ an－k＋1+… +an－1+an＋1+…+an+k－1+an+k＝ 2kan对任意正整数 n （n＞k）总成立，则称数列{an}是“P （k）数列”。

（1）证明：等差数列{an}是“P （k）数列”；

（2）若数列{an}既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{an}是等差数列。

对于第二小问证明：

（2）－ （1） 得：

于是，数列a1，a4，a7，… 是等差数列，设其公差为d1。

数列a2，a5，a8，… 是等差数列，设其公差为d2。

数列a3，a6，a9，… 是等差数列，设其公差为d3。

在 （1） 中取n＝3得：

在 （1） 中取n＝4得：

在 （1） 中取n＝5得：

光学遥感受天气条件影响极大，其在积雪面积制图中的主要难点问题之一就在于云雪的识别，NDSI因其实际可操作性强，提取精度高，方法快捷简单，是雪盖范围提取最为普遍采用的方法.此外，利用多个热红外波段计算亮温差也是云雪区分的有效手段.然而，高分四号卫星由于缺少反映积雪弱反射能力的短波红外波段，也没有多个热红外波段，导致无法有效利用波段间关系和遥感指数方法识别积雪.

将（3）（4）（5）相加，得d2＝d3。

在 （1） 中取n＝6得：

（6）－ （3） 得：

又因为 d2＝d3，故 d1＝d3＝d3。

由（3）得：

由（4）得：

（7） +（8）得：

因此数列{an}是等差数列。

法二：数列{an}既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，因此，

由（9）得：

将（11） ，（12） 代入（10），得an－1+ an+1＝2an，其中n≥4，

所以数列a3，a4，a5，… 是等差数列，设其公差为d，

在 （9） 中取n＝4得：

在 （9） 中取n＝3得：

因此数列{an}是等差数列。

对于法二的改进：

由（9）得：an－2+ an－1+an＋1+an+2＝ 4an，

将两式相加，则有：

由（10）可得：

所以an－1+ an＋1＝ 2an，其中 n≥4。

本题考查了新定义下的等差数列，考查了离散数列间隔成等差数列到每项成等差数列，利用递推方式处理，对学生的构造能力要求极高，对学生思维要求极高。

推广：对于给定的正整数k,若数列{an}满足：an－k+ an－k＋1+… +an－1+an＋1+…+an+k－1+an+k＝ 2kan对任意正整数 n （n＞k）总成立，则称数列{an}是“P （k）数列”。

若数列{an}既是“P （k1）数列”，又是“P （k2）数列”，其中k1≡2（mod 6）,k1≡3（mod 6）,则：{an}是等差数列。

高考试题凝聚了命题专家巨大的智慧和心血，他们立意深远，内涵丰富。我们从不同视角对高考试题进行求解于改编、加强和推广，这样对于领悟高考试题的功能，正确把握高三复习方向，都有着非常重要意义和作用。

[1]范花妹，秦庆雄.从“裂项相消法”证明数列不等式得到的启示[J].数学通报，2016（8）：44-51.