浅议向量在高中数学中的应用

王沥晗

摘要：高中数学学习的内容比较多，但是高考关于向量的考试侧重点却比较明确，题型基本固定，在数学学习中掌握好基础性向量知识，正确区分向量类型能有效帮助我们解题。为此本文结合目前身边同学们的学习现状，从向量在高中数学中的应用角度分析我们应该如何运用向量提高数学解题能力。

关键词：高中数学；向量；解题；数学思维能力

一、向量概述

数学中的向量是指大小、方向都能确定的一种量，主要由线和箭头组成。一般情况下箭头标明的是具体方向，而线段长度可视作这个量的大小。

二、向量在高中数学中的应用分类

向量一般不会单独设定考题，往往和数学其他问题融合在一起成为考题，而根据向量的一般解决办法，我们就能做出正确答案。其中向量运算的基本规律是我们学习向量的关键，要熟练掌握以下三个基本公式：

结合我们在课堂中接触的实际来看，其中向量对高中数学其他问题进行综合应用的情况非常多，现就数量积、三角函数、几何等三方面进行分析：

1.与平面向量数量积有关的问题。通常在高中数学学习中我们经常会遇到垂直证明问题、长度求解问题、夹角问题等，这些问题从正面解决的难度比较大，因而需要从侧面，借助向量来实现求解。

2.向量与三角函数融合问题。三角函数通常是带有直角坐标系这种类型的，向量在其中能确定方向和大小，从而和三角函数实现融合，使得题型增加变数，解答需要从向量使用入手。

3.向量与几何的结合问题。在我们高中数学学习中时常会遇到几何证明题与向量的结合情况，需要借助向量加减、乘积等实现几何题的证明。

三、向量在高中数学中的题型应用

例题1：若向量

=（1， 1），

=（2， 5），

=（3， x）滿足条件8（

-

）·

，那么x=（ ）。

解：根据题干我们可以很容易发现，这道题的考察主要方向是针对平面向量运算的，其中有涉及向量坐标运算，也有考察数量积的问题，为此我们应该要快速回忆所学的知识点，思考如何分解条件，解出答案。做题时，我们要有严谨的数学逻辑思维，确定解题方向后，做好每一个解题步骤的规范有序。

第一步先进行括号内的坐标运算：

8（

-

）=8（1， 1）-（2， 5）=（6， 3）

第二步，拆解条件，做好数量积运算准备：

8（

-

）·

=（6， 3）·（3， x）

第三步，整理后即可获得一元一次方程，获得正确答案：18+3x=30，解得x=4。

例2：在直角坐标系xOy中，已知向量

=（-1， 2），又点A（8， 0），B（ksinθ， t）（0≤θ≤

）

若

，且

，求向量

。

解：在看到这样的题时，我们很容易从中看出向量和三角函数融合的情形，那么在解题时就要有明确的思路，先确定从平面向量坐标运算入手的方向，抓住向量基本运算公式的要点，逐步求解。

第一步，根据条件进行平面向量坐标运算，根据垂直条件，运用垂直计算公式，可得：

由此可发现，我们初步确立了两个未知数，可以联立得到一个二元一次方程，通过化简可得：

实际上我们可以分析得出，向量与三角函数的题型解决办法在于把问题转化为常见的代数，然后进行运算，这样能节省我们更多的时间，也更加有利于我们找到解题思路，得到正确答案。

例3：已知向量

，

满足

·

=0，|

|=1，|

|=2，则|2

-

|等于（ ）。

解：这种题实际上从表面看是在考察我们向量的简单运算，并且涉及数量积、综合运算等问题，相对比较简单，但如果按照常规解法，我们需要很大的计算量，具体公式如下：

第一步，要用到根号（很大一部分同学容易忘记，或者记错）：

第二步，要用到开平方公式（这个公式很多同学就更不容易理解和应用了）：

但是我们根据几何中数形结合的思想，我们很容易从已知条件

·

=0得到：以向量

，

为邻，可以实现数形变化，形成一个新的矩形辅助解题。然后确定边长和宽，借助已知条件得到|

|=1，|

|=2。由此我们就可以构建出几何图形辅助解出正确答案，如图1。

四、总结

综上所述，向量在高中数学学习中的应用分析还是需要我们学生多掌握基础知识，从坐标运算的基本步骤，到公式的转化应用，都需要进行记忆和练习，才能在解题中有基础保障。然后在学习中我们还要多向老师请教，吸取做题的技巧，双管齐下，才能更好的提升自己的数学解题能力。

参考文献：

[1]新课改下高中数学向量教学与学生能力的培养初探[J].丁永成.课程教育研究.2015（20）

[2]浅析新课改下高中数学向量教学存在的问题及对策[J].时伟.新课程（中学）.2015（01）

[3]论向量在立体几何和平面解析几何中的应用[J].刘锋.中国校外教育.2015（33）endprint