勿忘“等号能否取到”

席青云

整体方略制定后，细节决定成败.在解决数学问题时，有时我们对一些细节疏忽大意，造成解题错误.看上去非常可惜，实际反映了我们对问题的理解不够深刻.因此，在解题过程中要关注细节，纠错要落实到每一个细节.这里，我们就以一类题中的“等号能否取到”为例，谈谈如何防止出错，如何把握解题过程中的每一个细节.

例1已知f（x）＝x2-2ax在（1，＋∞）上单调递增，求a的取值范围.

本题的关键是a能否取到“1”？即a的范围是（-∞，1）还是（-∞，1]，这怎么区分呢？老师在课堂上曾经做过小调查，本题做错的人不在少数.其实，如果大家能把a＝1代入解析式去判断是否成立，应该就可以明白，a＝1也是成立的.代入验证，举手之劳，但我们要有代入检验的意识，养成凡事三思而行的良好品质.

例2已知集合A＝｛x｜1＜x＜3｝，B＝｛x｜a-1＜x＜2a＋1｝，若A是B的真子集，求a的范围.

分析本题中，A是B的真子集，所以要考虑A是B的子集，而且A≠B，我们来看两种做法.

对于做法二，一些同学会反对：因为这是真子集，故等号不能成立，你赞同么？如果你把a＝1和a＝2分别代入验证就可以知道a＝1和a＝2都成立，所以做法一错误，不可取.

但是做法二未考虑到“真”子集，怎么办？老师的建议是按做法二去做，到最后再考虑等号能否成立，即代入验证来检验等号能否成立.以上两类题是集合中的“等号能否取到”的问题.除此之外，我们在做变量分离题时，也时常会遇到此类情况.

例3对于任意x∈（1，2），都有x2-2x＋a＞0成立，求a的取值范围.

对于这一题，老师曾经找同学板书，他的做法如下所示.

由题意，分离变量得到a＞2x-x2，因为x∈（1，2）时，2x-x2∈（0，1），a大于2xx2的最大值，故a＞1.

显然，本题做法有误.经过验证，容易知道a是可以取到1的.为什么会取到1呢？因为2x-x2的值取不到1.

本题也可以改成存在性问题；如下例所示.

例4存在x∈（1，2），使得x2-2x＋a＞0成立，求a的取值范围.

此题看起来和例3差不多，但也很容易出错，一部分同学的做法如下.

a＞2x-x2，因为x∈（1，2）时，2x-x2∈（0，1），a大于2x-x2的最小值，因为2x-x2的最小值取不到0，故a≥0.

对吗？a＝0代入验证成立么？现在你应该知道，与例3恰恰相反，正是因为2xx2的最小值取不到0，才使得a更取不到0了.

所以，解题不是盲目地照搬照抄，而是需要我们懂得思考其中的道理.

如果我把例3和例4的“x∈（1，2）”改成x∈[1，2]，答案又该是多少？（希望你能得出正确的答案，例3：a＞1；例4：a＞0.）

以上这两题告诉我们，对于“等号能否取到”的问题，我们在做题时要多长个心眼，稍不留意就会出错.

对字母取值的一些临界值、区间的端点要格外小心，这表面上是细节问题，在解决数学问题上却是大问题.因为，失之毫厘，谬以千里.