海伦三角数
2018-01-24
中国科技教育 2017年7期
所谓“海伦三角形”是这样一类三角形:其三边的边长及面积的数值都是正整数。而如果海伦三角形△ABC对应的三边分别为a,b,c则a,b,c称为一组“海伦三角数”,我们简称之为“海伦数”。为方便计,在以下的讨论中我们总是假定三角形△ABC的最大角是角C。
为了便于论述,我们把三条边的边长及面积均为有理数的三角形称为“准海伦三角形”,相应的边长为a,b,c称为“准海伦三角数”,简称为“准海伦数”。相似地,如果一个直角三角形的三边均为有理数,则称这个三角形为“准勾股三角形”,称这组数为“准勾股数”。根据勾股数所满足的公式(不熟悉这方面内容的读者可参考相关资料,例如本刊2015年第10期),我们不难得到如下结论:
结论1 任意一组勾股数都是一组海伦数,任意一组准勾股数都是一组准海伦数。
另一方面,如果海伦三角形A对应的三边分别为a,b,c从角C作AB的垂线CD,则由于边长与海伦三角形的面积都是正整数,因此这条垂线CD的长度h是有理数。同时,由余弦定理知cosA是有理数,所以线段AD也是有理数,故垂线CD將底边c分成两个有理数。也就是说,垂线CD把△ABC分割成两个直角三角△ACD和△BCD,它们的边长是两组有理数。因此有:
结论2 任何海伦三角形都由两个准勾股三角形拼接而成。
下面我们来研究海伦数的构造。设△ABC对应三边分别为a,b,c,s为△ABC的半周长,r为其内切圆半径,S为面积。其中a,b,c及S都是正整数。endprint