新鲜构树叶柄的弹性模量测量

龚 梦，邵传平

(中国计量大学 计量测试工程学院，浙江 杭州 310018)

弹性模量是经常要用到的一个重要力学性能指标.测量叶柄的弹性模量在研究树木与风场的流固耦合[1-3]，运用树木特征进行仿生研究[4-6]以及计算机动画技术中实现具有真实感的树的模拟[7]等方面具有重要意义.

王淑娟和谢宝元参照《木材抗弯弹性模量测定方法》标准GB/T 1936.2—2009中的规定，采用三点弯曲实验获得新鲜树枝的抗弯弹性模量，并分析了休眠期常绿乔木和落叶乔木的枝龄、含水率、密度等对抗弯弹性模量的影响[8].王丽宇等采用电测法测试了白桦木材的12个弹性常数[9].高珊、王立海、王喜平发现温度对木材的抗弯性能具有显著影响，随着温度的升高，木材的抗弯性能逐渐减弱；相同承载条件下，含水率越高，没显著影响，随着温度的升高，木材的抗弯性能逐渐减弱;相同承载条件下，含水率越高，木材的抗弯曲性能越强[10].

叶柄的弹性模量测量较少有人涉及，已知文献中Nikles用多重共轭频谱法测量了杨柳叶柄的杨氏模量和剪切模量，并得出他们与叶柄长度、重量、叶片大小等成正相关[11]。胡潇毅等在进行动画模拟时通过小风实验粗略测量得到某种阔叶叶柄的弹性模量值在100～500 MPa[7].本文将搭建悬臂梁集中载荷模型实验平台并测量新鲜构树叶柄的弹性模量，进而简单分析其影响因素.

1 实验方法

1.1 研究对象

测量对象为图1中5到6月杭州下沙地区新鲜采摘的构树叶柄.为方便测量、保证准确度，需筛选相对比较笔直的叶柄进行实验.

图1 新鲜构树叶柄Figure1 Fresh paper mulberry petiole

1.2 测量原理

大挠度悬臂梁集中载荷模型如图2，长为L的叶柄一端固定，构建悬臂梁，在自由端加载. 梁加载弯曲后，从固定端起，沿梁轴的曲线坐标S处的梁弯角φ(梁曲线切线与水平轴的夹角)满足方程：

(1)

式(1)中x、s分别为S点的水平坐标值和到原点弧长，xm为自由端水平坐标值，P为自由端载荷，E为待求的叶柄弹性模量，I为横截面惯性矩.

(2)

图2 悬臂梁集中载荷模型Figure 2 Lumped load model of cantilever beam

求解微分方程(2)，得到自由端弯转角φm满足方程：

(3)

自由端挠度满足：

(4)

其中ym为每次加载后最大挠度.然后由上式(4)求出φm，再由式(3)求出A值，最后由此得到弹性模量：

(5)

构树叶柄截面近似圆形，相应的截面矩计算公式：

(6)

式(6)中d为截面圆直径.

真实叶柄直径是变化的，用D1、D2、D3分别表示叶柄靠近叶片端、中部、基部的直径.定义：

(7)

α在0.006～0.015之间，对I影响很小，因此本次测量中为计算方便假设叶柄粗细均匀，取3个部位直径平均值作为有效值，即

(8)

1.3 挠度放大

加载过程中挠度变化很小，为了减小误差，提高测量的准确度，搭建简单的光学系统对挠度进行示值放大.

图3 光学放大Figure 3 Optical amplification

1.4 实验过程

实验时叶柄固定方法如图4，待测叶柄(带枝)放置于水平桌面上，用压块压住树枝部分，构成悬臂梁.测量过程在b端(与树叶相连端)加载荷，使叶柄弯曲.通过测量叶柄的最大挠度可间接测量相应叶柄的弹性模量.

实验时采用逐渐加载，载荷从0开始，加载增量0.5～2 g，直到自由端梁弯角近似垂直，加载范围为0～50 g.测量每次加载后的最大挠度，最后用悬臂梁集中载荷模型计算叶柄的弹性模量.注意叶柄弹性模量在不同生长阶段和不同环境下具有差别，所以不同叶柄实验时的加载增量和范围有所不同.

单个叶柄每次加载，均可计算出一个相应的弹性模量.因此实验可测得单个叶柄的一系列弹性模量.

图4 叶柄固定方式Figure 4 Fixation method of petiole

1.5 测量精度

叶柄个体不同，抗弯能力也不同。为了确定测量方法的精度，对叶柄在y′<0.11的范围进行多次重复实验。某叶柄(11月份)5次重复实验结果如图5，测量值与拟合值曲线(拟合优度0.993)在最大误差处的相对误差为5.8%.我们进行了3组这样的实验，另外两组结果分别为6.7%、6.3%,故测量精度为6.7%.

图5 5次重复实验结果及其拟合曲线，y′=ym/LFigure 5 Results of 5 experiments and fitting curve

2 实验结果及分析

实验测得五、六月份新鲜构树叶柄的弹性模量在50～600 MPa之间，平均值为166 MPa，个体间差异较大.

图6比较不同树上的叶柄弹性模量差异.来自同一棵树的4、5、6号叶柄弹性模量值明显大于来自另一棵树的1、2、3号叶柄.

图6 不同树上的叶柄弹性模量比较，y′=ym/LFigure 6 Comparison of different trees

图7中1、2、3号叶柄分别摘至同一树枝顶部、基部、中部，从图中可以看出树枝基部叶柄弹性模量大于顶部，中部叶柄弹性模量在挠度<0.35时刚好处于二者之间.

图7 同一树枝不同位置叶柄弹性模量比较，y′=ym/LFigure 7 Comparison of different part of the same branch

图8比较同一树枝上直径、密度不同的4个叶柄的弹性模量，密度接近的两叶柄直径较大的弹性模量也大，直径接近的叶柄密度大弹性模量也大，即叶柄的弹性模量与其直径和密度大小存在正相关.

从图6、7、8可以看出，单一构树叶柄的弹性模量会随挠度增大而减小，图5的重复实验也证实了这一点，这说明它是一种非线性弹性材料.

图8 同一树枝不同直径、密度叶柄弹性模量比较，y′=ym/LFigure 8 Comparison of different diameter and density on the same branch

3 结 论

通过悬臂梁自由端集中载荷实验测量5到6月份新鲜构树叶柄的弹性模量.在实验中采用光学放大方法放大挠度示值，减小人工误差.对叶柄在y′<0.11的范围进行多次重复实验得到该方法的测量精度为6.7%.

实验分析发现新鲜构树叶柄是一种非线性弹性材料，其弹性模量会随挠度的增大而减小.假设叶柄粗细均匀，它的弹性模量值在50～600 MPa之间，个体间差异较大.同一树枝上靠近基部的叶柄弹性模量更大，且与叶柄直径、密度存在正相关.这些差异可能与叶柄生长状态、温度以及叶柄的含水率相关[13-14]，值得深入研究.

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