基于变易理论的大学数学课堂学习研究

刘生贵

[摘 要]变易理论指出，要正确认识某事物就应该分离出该事物的关键属性。运用变易图式加以对比，可以有效实现对关键属性的辨析。课堂学习研究以改善教与学为目标，以变易理论作为教学设计的理论指导，来帮助学生掌握学习内容。对于那些学生难以理解的大学数学概念和问题，用课堂学习研究的模式进行教学研究，可以促进教与学的有效开展，有利于教学质量的提高。

[关键词]变易理论；课堂学习研究；大学数学；关键属性

[中图分类号] G642.42 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2018）11-0104-04

○、引言

大学数学课程是高等院校各理工、财经、管理等专业重要的公共基础理论课，其目的在于培养专业技术人才所必备的数学素养。作为基础的工具学科，大学数学的教学一直深受重视并且对其要求在不断提高。然而目前的大学数学教学普遍存在下列现象：数学是大学课程中最多学生挂科的课程之一，甚至导致有些学生延迟毕业或毕不了业；大一新生普遍感觉高数（或数学分析）特别难学，对很多数学问题和概念似懂非懂，存在较严重的学习障碍，严重打击了学生的学习积极性，造成其后继课程学习困难。笔者认为造成目前这样的局面大致有以下几个原因。

一是大学扩招所带来的学生差异。国家自1999年实行普通高等学校扩招政策后，各高等院校的学生规模都迅速扩大，导致学生素质参差不齐，按总分录取的方式使得学生单科成绩差距悬殊，生源总体差异显著加大。而大学数学每节课教学信息量大，以及近乎“满堂灌”的教学模式，使得很多学生一时难以适应。而且大班制的数学教学不能很好地兼顾学生差异，教师难以有效组织教学以及师生之间的交流讨论，这对提高教学质量极为不利。

二是高校教研方面仍存在诸多的不足，教研气氛不浓，影响了教学质量。普通高校虽然也有教研教改项目和教研活动来推动教学，但很多高校重视程度不够，很多流于形式，只做表面功夫。比如，很多普通高校都把院系或教研室集体听课评课作为教研的主要方式，但多数停留在就课论课、就课评课，很少能上升到“教学研究”的高度。

另外，国内高校的职称评定、评优评奖、项目申报等大都以科研项目以及科研论文发表为中心。专注于科研的教师，可以申请到更多的科研经费，发表更多的论文，职称待遇都能迅速上去，带来一系列的实惠，这就导致了很多大学教师“九分科研，一分教研”，不愿意花太多的精力在教学研究上，对于普通的非科研型院校也是如此，这就违背了大学“教学为本”的宗旨。

三是对新入职的年轻教师教学技能的培训和帮扶力度不够。很多年轻的大学教师虽然有很丰富的专业知识和较深的学术造诣，但普遍比较缺乏教师技能的训练。特别重要的一点是，年轻人正处于事业的上升期，比较迫切希望职称上的提升，使得他们更愿意把较多精力花在容易获取“收获”的项目和论文上，表现为在教学上只要能应付就行。高校里有很多的科研团队，但很少像中小学那样传帮带的教学研究团队，使得年轻教师的教学成长较慢。

教学中，很多教师常会假设，只要教师对学生讲解清楚教学内容，学生便会得到跟教师一样的理解，而事实上的结果常常与假设相差甚远。大学数学教师常常会抱怨：“我已经把这个问题讲得很详细、很清楚了，为什么很多学生还是不明白。”很多教师常常会把这归因于学生的天赋能力或学习动机。事实上，很多时候这是因为教师没有了解学生学习的真正困难所在，没有关注学生是如何思考、如何学习的，没有注意到学生的个别差异。变易理论认为，教师通常难以明白学生所面对的困难，是由于忽略了学习内容的某些关键属性，而这些关键属性却是教师习以为常已被置于背景而不会特别去处理的东西，这些属于教师教学盲点的关键属性恰恰是造成学生学不好的主要原因。如能找出学生对学习内容不同的看法，再对比教师希望学生能发展出的看法，便不难找到学生欠缺了哪些关键属性的掌握，如此便能有的放矢地对症下药了。而基于变易理论的课堂学习研究，聚焦于学习内容的关键属性，利用变易图式设计教学活动以突出关键属性让学生辨析，能较充分地照顾学生差异，有效地指导大学数学的教学，创建良好的校园教学研究氛围，提升教学质量。

一、变易理论与课堂学习研究概述

变易理论（Variation Theory）是世界著名教学专家、瑞典哥德堡大学教授马飞龙（Ference Marton）所创立的一套教学理论，在全球享有很高的知名度。变易理论的基本观点是，为了认识某个事物，就必须注意到这个事物与其他事物之间的不同。为了注意这个事物与其他事物在某个属性上的不同，这个属性就必须在某个维度上发生变化。在所有其他属性都保持不变的情况下，这个差异才可以被识别出来。近些年来，变易理论在我国香港和内地得到传播和研究，一些研究者开始尝试将变易理论作为设计教学的指导工具，进行教学的改革。以香港教育大学卢敏玲教授为首的一些教育学者对马飞龙教授的变易理论进行发展，提出了一种新的教学研究模式——课堂学习研究。

课堂学习研究是一种以变易学习理论为指导的校本行动研究。主要由同科同级的教师在学院研究员的协助下组成研究小组，先确定研究的课题，再通过前测和课前访谈找出学生学习该课题的难点，然后针对该难点确定研究课的学习内容和关键属性，根据变易图式集体设计教学方案，并由不同教师轮流施教，每次教学实践后立即检讨该研究课的成效并提出改善方案，再在下一轮课堂教学施教，逐步改善教学效果。

课堂学习研究借鉴了日本的授业研究（Lesson Study）和国内的教研实践模式于2000年在香港发展起来[1]。它的特色突出表現在把一套简单而且能够作为教学设计指导原则的学习理论内嵌其中。这套学习理论即为瑞典教育家马飞龙教授提出的变易理论[2]。变易理论强调建立学生与学习内容之间的联系，学生对学习内容的理解取决于他们对其关键属性的掌握，而这一过程需要教师通过建立适合学生的变易图式才得以实现。基于学习内容中的“不同”和“相同”的不同组合，学生可以得到“对照”“类合”“区分”以及“融合”四种变易图式[3]。

卢敏玲教授从以下三个不同层面的变易对马飞龙教授的变易理论进行了发展[4]。

第一个层面（V1）是指不同学生对学习内容都有的不同见解。这一层面要求教师在考察学习内容的时候，不但要基于学生原有的知识与经验，也要基于学生的实际理解水平来思考。马飞龙教授强调，若教师能洞悉学生对学习的不同见解，从而加以分析，找出不同学生对学习内容的不同见解，然后做出教学上的调适，这样教学效益便能大大提升。

第二个层面（V2）是指不同的教师对同一教学内容都有不同的见解及处理的方法。这一层面要求教师之间应该进行积极的经验交流互动，透过观课和课后仔细分析教与学的细节，集体合作设计出更有效益的课堂教学计划，形成合作教学共同体，以此来提高教师的专业教学水平，进而促使学生从中获取更大的益处。

第三个层面（V3）是指利用恰当的变易图式（让事物的其他特征不变，有计划地改变某个或某些特征）作为指导教学设计的工具，帮助学生审辨学习内容的关键属性，规划有效的教学活动。这个层面要求教师要不断地打破传统的教学模式，将重点放于对学习内容的处理之上，这样的课堂教学才会更加丰富多彩，才能进一步提高课堂教学的效率。

在过去的十几年里，香港教育大学的研究团队在卢敏玲教授的带领下，和 200 多所香港中小学合作完成了280多个课堂学习研究，积累了丰富的经验，取得了令人瞩目的成就。本文认为，课堂学习研究同样可以有效改进大学数学教学，同时可以搭建一个“合作教学”的社群，形成良好的教研氛围，让教师相互学习、共同发展。

二、课堂学习研究对大学数学教学的意义

一是课堂学习研究可以有效提升学生的学业水平和学习能力。课堂学习研究先从分析学生对学习内容的不同看法开始，然后从差异中寻找改善学习的方法。在研究的流程中，选择学习内容、确定关键属性、设计课堂教学活动等方面都较充分照顾到学生的个别差异，可以整体提升学生的学业水平。

在社会高速发展的今天，各国的教育改革趋势都是以适应高速发展的社会为宗旨，全面推进终身学习、全人教育。2014年11月，联合国教科文组织召开“世界可持续发展教育大会”，主题是“今天的学习是为了能拥有一个可持续的未来”。为适应多变未知的未来，就要培养学生更好地处理事情的能力，让他们掌握要处理的事情的关键属性。而在知识以加速度更新的时代，要拥有可持续发展能力，“会学”显然要比“学会”更重要，“学力”当然要比“学历”更重要！北京师范大学陈建翔教授认为，变易理论可以帮助学生辨析事物的关键属性，有效促进学习的“正迁移”，促进学生的“生产性”学习，提升学生的“学力”[5]。在变易理论看来，教师在教学中有意识地进行变易，让学生聚焦于事情的一项或多项特征上，可以促使他们产生更高明的见解。如果学生在教学情境中学会了如何辨析事物的关键属性，他们就可以更好地在另一些情境学习其他东西，这就是“生产性”学习。

二是课堂学习研究给参与的教师提供一套严谨的研究方法，帮助他们对自己的教学实践进行反思性学习，促进教师的成长。在研究过程中，教师不只是从整体学科知识内找出学生学习的难点，设计适合学生学习的学习内容和处理方法，而且在经历了一个系统的教学研究过程之后，其教学研究和教改能力会获得有效提高。特别对于年轻教师来说，经历了一轮课堂学习研究后，他们增强了对课程的适应能力，通过不断反思自身的教育行为并进行有效施教，促进了自身的专业发展。

三是课堂学习研究有助于构建教学研究互助共同体。长期以来，很多大学数学教师的教学研究被认为缺乏互动、对话、反思的机制。而在课堂学习研究过程中，研究小组的教师一起对研究课进行设计、实施、评价和分享，一起学习和研究，有共同的目标与价值，彼此互动，交流频繁，共同的教学实践满足了年轻教师集思广益的需要，建立了教师教学研究发展的专业共同体。因此，课堂学习研究不仅有助于改善教学，还可以构建教学实践共同体，提升教师的专业发展[6]。

三、基于变易理论的大学数学课堂学习研究流程

课堂学习研究是建立在“教师即研究者”理念之上的一套改善教学的行动研究模式。将行动研究贯穿于课堂学习研究的始终，在计划—行动—观察—反思—新计划—再行动—再观察—再反思中获得螺旋上升和不断发展。所谓行动研究，即“教师对日常课堂教学或学校里所发生的事情进行思考，并做出系统的评估，然后采取具体行动，改进或改变现行情况或行为，继而监管及评鉴行动的成果，以求达到更好的效果”[7-8]。

一般来说，大学数学课堂学习研究可以依据如下步骤，但这些步骤不一定以固定的顺序出现，有时几个步骤的工作会同时进行，有时某几个步骤会反复进行循环，其基本的流程如图1所示。

第一步，选取课题，初拟学习内容。马飞龙教授认为，学习内容是课堂教学的核心和基础，学习方式和教学形式应适应学习内容的需要。研究小组成员在讨论会议上，分享各自在同一科目教学实践中所遇到的教学难题及其解决方法，然后选取一个最有研究价值又可行的研究课题。

该概念是数学的基础概念，后续的很多数学问题都是建立在函数极限的基础上，比如函数连续、可导、可可积、收敛等，但初学者对函数极限的[ε-δ]定义却很难理解。笔者曾对所在的大学不同年级的理工科学生做过几次访问调查，结果发现将近百分之九十的学生对这个概念似懂非懂，这就严重打击了学生学习的信心和兴趣，影响了其后继数学课程的学习。而这个概念是那么基础和普遍，使得有些学生刚上大一就开始对数学产生恐惧心理了。据此，我们可以以这个概念作为研究的一个课题。

第二步 ，“诊断学习困难”并“确认学习内容的关键属性”。教师首先必须清楚学生应审辨教学内容的哪些关键属性。其次，在众多特征中，教师要分辨出哪些特征是导致学生在学习过程中出现困难的关键。只有明确学习内容的關键属性，才能弄清楚学习某项内容的必要条件，才能为教学过程和方法提供有效的依据。而且，教学中最需要突出的是学生很难理解的那些关键属性，学生理解偏差之处常常暗含于某个关键属性的误解或盲区[9]。为了确保研究资料的效度和信度，研究小组可以邀请几位已学过该课程的大二学生（他们的学科成绩分别是高、中、低）接受访谈，以了解学生的想法。与此同时，设计一个前测问卷调查，对所有参与研究课的学生进行前测，借以诊断该群学生的学习难点。

例如，在函数极限的[ε-δ]定义中，根据教师以往的教学经验，学生难以理解[ε、δ]是什么样的数以及有什么作用，我们可以结合学生访谈和前测情况来确定以此作为关键属性。

第三步，根据访谈和前测反馈的情况进行教学设计及教学实践。针对学生难于理解或理解有误差的关键属性，运用变易理论创设出恰当的变易图式，以此作为指导教学设计的工具。再以适当的教学策略带出相关的教学活动，以期达到教学目标。

在进行教学实践时，每一轮研究课会由其中一位教师施教，研究小组的其他成员则进行观课。研究课后，再邀请几位不同层次的学生进行课后访谈，借以了解学生对有关内容的掌握程度。同时，结合现场观课的情况，对该轮教学进行深入的分析与研讨，以期下一轮的教学设计会更加完善。以行动研究的模式，然后进行下一轮教学设计、教学实践、课后访谈和教学分析，如此循环两三轮。

第四步，检讨整体教学成效。研究小组在研究课后尽快对学生进行后测。对比前测和后测的结果，旨在了解学生的学习成效，并借此找到仍然未被发现的学习难点，以此作为将来改善教学的依据。

第五步，分享成果，撰写研究报告。研究小组根据多方面收集的资料，将行动研究的成果制作成简报，向全体研究人员汇报，并作深入的讨论，以促进教师学会从实践中学习和成长。

四、结语

课堂学习研究以改善教与学为目标，以变易理论作为教学设计的理论指导，来帮助学生掌握学习内容，可以有效改善我们的教学，照顾学生的个体差异，提升校园的教学研究文化，促进教师教学能力的成长和成熟。而且这种教学研究模式简单易行，便于普通大学数学教师掌握和推广应用，根据香港在这方面的成功经验，我们认为很值得在大学数学教学中学习和推广。

[ 参 考 文 獻 ]

[1] 李树英，高宝玉.课堂学习研究的国际展望[J].全球教育展望，2007，38（1）：52-56.

[2] 郭永贤.课堂学习研究概论[M].合肥：安徽教育出版社，2011.

[3] 卢敏玲.变易理论和优化课堂教学[M].合肥：安徽教育出版社，2011.

[4] 梁玉麟，劳傅燕华，江巧妍.数学课堂学习研究实践与数学基本概念的教学[M].合肥：安徽教育出版社，2011.

[5] 陈建翔.“变异理论”对传统迁移观的超越及启发[J].中国教育学刊，2009（1）：30-33.

[6] 郑志强.课堂学习研究与教师专业发展[M].合肥：安徽教育出版社，2011.

[7] ELLIOTT J.Action research for educational change[J].Philadelphia：Open University Press，1991（5）：579-580.

[8] 李树英，高宝玉.课堂学习研究实践手册[M].合肥：安徽教育出版社，2011.

[9] 陈红兵.探索学习的必要条件：变异理论发展的新动态[J].课程·教材·教法，2014（6）：110-115.

[责任编辑：庞丹丹]