试论渐开线与阿基米德螺线的特点与应用

郭文灿

摘要：渐开线与阿基米德螺线是机械产品的两种基本线，但是由于差别不大，人们往往容易搞错混淆，特别是使用方面差别较大，本文就两种曲线做出一定的对比研究。

关键词：渐开线；阿基米德螺线

渐开线

渐开线如下图所示：

当一根直线在圆周上做纯滚动时，此直线与圆相切点的空间运动轨迹就是此圆的渐开线。此圆称为基圆，直线为KN，点A的轨迹是AK1K2K就是生成的渐开线。

其主要特征是：

1直線的长度等于在基圆上滚过的长度等于即基圆上被滚过的弧长，即NK=NN2N1A；

2.因为发生线在基圆上作纯滚动，所以它与基圆的切点N就是渐开线上K点的瞬时速度中心，发生线NK就是渐开线在K点的法线，同时它也是基圆在N点的切线；渐开线的大小取决于基圆的大小。基圆内无渐开线。

3.渐开线齿廓上K点的法线与该点的速度方向所夹的锐角称为该点的压力角。齿廓上各点压力角是变化的，K点离圆心越远，压力角越大。

4.切点N是渐开线上K点的曲率中心，NK是渐开线上K点的曲率半径。离基圆越近，曲率半径越小渐开线的形状取决于基圆的大小。基圆越大，渐开线越平直，当基圆半径无穷大时，渐开线为直线；

阿基米德螺线

阿基米德螺线如下图所示：

阿基米德（约公元前287～前212），古希腊伟大的数学家、力学家。阿基米德螺线（阿基米德曲线） ，亦称"等速螺线"。当一点从圆心出发向外以射线的方式以等速率运动的同时，该射线又以等角速度绕点中心旋转，此点的轨迹称为"阿基米德螺线"

阿基米德螺线的特点是：

1.从原点出发

2.此点向外发射与绕原点旋转的运动等速

渐开线与阿基米德螺线在机械上的应用

1.两种线的比较

如下图所示：

A.图中蓝线为渐开线，红线阿基米德螺线；

B.一个有基圆，一个从中心开始；

C.渐开线无速度要求，阿基米德螺线是等速运动；

2.应用由于形成的条件不同，所以使用的情况与不同。

2.1渐开线的主要应用---齿轮

A.如右图所示，齿轮轮廓线就是渐开线，

B.根据渐开线原理、性质，如下图所示，

齿轮传动时，力Fn的作用方向是固定不变的（如果不考虑齿面摩擦），即沿着啮合线方向，也就是2个齿轮基圆的内公切线方向；如果传递的扭矩也是一定的，则力的大小也不变。这是渐开线齿轮传动的优点之一。

另外，在标准压力角α时切向力Ft永远与基圆（或者节院）相切，实现传动效率最大化

再者，齿轮安装的中心距不完全相同，不会影响齿轮传动比的准确性。这也是渐开线齿轮的优点之一。

再者，如下图所示，齿轮传动过程中节点不同，如B1点的变动，不会影响齿轮传动比的准确性。这也是渐开线齿轮的优点之一。

2.2阿基米德螺线应用---蜗杆

A.阿基米德螺线应用。

螺线在自然界的存在---像茑萝、紫藤、牵牛花等攀缘植物，用最少的材料、最低的能耗，使其茎或藤延伸到光照充足的地方。螺类外壳上的螺线像一条肋筋，大大增加了壳体的强度，也分散了作用在壳体上的水压，来自水流的阻力经锥状螺线的转化变为前进的。

螺线在工业上应用---在凸轮设计、车床卡盘设计、涡旋弹簧、螺纹、蜗杆设计中应用较多像钟表内的螺旋弹簧形成螺线状具有弹性（或伸缩性）的物理性质。

下面谈谈蜗轮蜗杆传动。蜗杆齿形如下图所示，为齿廓阿基米德螺线

.B.传动特点：1）当使用单头蜗杆时，蜗杆每旋转一周，涡轮每旋转一周，涡轮只转过一个齿距，因而能实现大的传动比。在动力传动中，一般传动比i=1～80；在分度机构或手动机构传动中，传动比可达300；若只传递运动，传动比可达1000.由于传动比大，零件数目又少，因而结构紧凑。 2）在蜗杆传动中，由于蜗杆齿是连续不断的螺旋齿，它和涡轮齿是逐渐进入啮合及逐渐退出啮合的，同时啮合的齿对又较多，故冲击载荷小，传动平稳，噪音低。 3）当蜗杆的螺旋线升角小于啮合面的当量摩擦角时，蜗杆传动更具有自锁性。 4）蜗杆传动与螺旋齿轮传动相似，在啮合处有相对滑动。当滑动速度很大，工作条件不够良好时，会产生较严重的摩擦和磨损，从而引起过分发热，使润滑情况恶化.因此在磨损较大，效率低；当传动具有自锁性时，效率仅为0.4左右。同时由于磨损严重，常常需要耗用有色金属制造蜗轮，以便于钢制蜗杆配对组成减摩性良好的滑动摩擦副。 应用场合：通常用于减速装置。

a.实现大速比的减速传动：传动比=蜗轮齿数/蜗杆头数，当使用单头蜗杆时，蜗杆每旋转一周，涡轮每旋转一周，涡轮只转过一个齿距，因而能实现大的传动比。在动力传动中，一般传动比i=1～80；在分度机构或手动机构传动中，传动比可达300；若只传递运动，传动比可达1000.由于传动比大，零件数目又少，因而结构紧凑。由于齿数远远大于头数，故可以应用于传动力不大且速比变化较大的机构，像汽车机械式里程计数的传动装置。

b.在蜗杆传动中，由于蜗杆齿是连续不断的螺旋齿，它和涡轮齿是逐渐进入啮合及逐渐退出啮合的，同时啮合的齿对又较多，故冲击载荷小，传动平稳，噪音低。

C.实现垂直方向的传动：像线圈绕线机的计数器。

d.实现传动自锁： ：当蜗杆的螺旋线升角小于啮合面的当量摩擦角时，蜗杆传动更具有自锁性。

e.蜗杆传动与螺旋齿轮传动相似，在啮合处有相对滑动。当滑动速度很大，工作条件不够良好时，会产生较严重的摩擦和磨损，从而引起过分发热，使润滑情况恶化.因此在磨损较大，效率低；当传动具有自锁性时，效率仅为0.4左右。同时由于磨损严重，常常需要耗用有色金属制造蜗轮，以便于钢制蜗杆配对组成减摩性良好的滑动摩擦副。

歇后语：从两种曲线的对比可以知道，最为明显的差别是比较明显的，渐开线的齿轮传动力大，传动效率高，加油润滑时，传动效率高于95%，主要用于各类齿轮；阿基米德螺线不但自然界有此类现象，在机械方面使用的范围较广，像蜗轮蜗杆传动，传动比大且反向自锁，但是效率较低。通过对比，方便我们设计使用时的参考。

参考文献：

[1]李靖宇.机械设计基础.大连理工大学出版社，2010版