巧用几何画板动态分析磁场“缩放圆”和“旋转圆”问题

明翔宇

摘 要：当磁场中的带电粒子速度大小或方向发生变化时，其在磁场中的轨迹圆将发生缩放或旋转，这是物理教学中的重难点。为了突破这一难点，笔者通过不断摸索和比较，发现应用几何画板能非常方便地动态展示和分析磁场中的“缩放圆”和“旋转圆”问题。

关键词：几何画板；磁场；缩放圆；旋转圆；动态圆

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2017）12-0052-4

带电粒子在磁场中的圆周运动一直是高中物理教学中的重难点，特别是当粒子的速度仅仅大小或方向变化时，其在磁场中的轨迹圆将会缩放或旋转，由于涉及到较为抽象和复杂的几何关系，很多学生无法建立正确的物理模型，導致此类问题的出错率较高。

为了解决这一难点，老师们通常会采用一个定圆模型来模拟轨迹圆的旋转问题，但圆的缩放还是无法直观展示，而且定圆模型也难以方便地展示其中的几何关系。也有老师利用现代教育技术手段来模拟这个过程，其中若用Flash动画模拟，对老师信息技术专业要求较高，而用PowerPoint制作课件，又难以用动画展示其变化过程。笔者通过不断地摸索和比较，发现用几何画板能非常方便地动态展示和分析磁场中的“缩放圆”和“旋转圆”问题。笔者根据粒子速度变化的情况进行分类讨论，详细讲解在几何画板中制作磁场动态圆的方法。

1 缩放圆（粒子速度方向相同，大小不同）

问题引入 在无限宽广的匀速磁场中，带电粒子（不计重力）以任意大小的速度、沿特定方向垂直射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，速度v0越大，运动半径也越大。

在几何画板中，先画出一条线段ab，在线段上再画一点O，以a、O这两点画圆，构造aO之间的线段为半径，并构造与之垂直的方向为速度方向，移动圆心O，可以看到圆随之缩放，如图1所示，利用这个动画演示，可以给学生留下缩放圆的基本概念。

当用鼠标拖动圆心O1时，我们已经可以看到一个能随意缩放的圆了。为了根据题意美化效果，我们需要把在磁场中的圆轨迹设置为实线，磁场外的部分设置为虚线。

（3）用“点工具”在轨迹圆与ab边的交点上绘制一个点，并在磁场内的圆轨迹上再绘制一个点，然后依次顺时针选中交点、圆周上的点和O点，选择“构造”菜单中的“过三点的弧”；再用线段工具，在圆心O1和交点之间绘制线段，并设置为虚线，拖动圆心，可以动态展示轨迹圆与ab相交的区域，当轨迹圆分别与ab和cd边相切时，对应着粒子能打在ab边上的最小和最大轨迹圆半径，如图6和图7所示；

2 旋转圆（粒子的速度大小相同，方向不同）

问题引入 在无限宽广的磁场中，带电粒子以一定大小的速度、沿任意方向垂直射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径相同，改变速度方向，轨迹圆也随之旋转，相当于轨迹圆的圆心也在绕入射点转动。

在几何画板中，先画点a，表示粒子源从a点沿不同方向以相同大小的速度射出同种粒子，过a点作出速度v的方向和洛伦兹力的方向，在洛伦兹力的方向上再画一点作为圆心O，依次选中O点和a点作出轨迹圆，如图9所示；拖动O点，可以看到轨迹圆的旋转情况，如图10所示。

例2 真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.6 T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16 cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106 m/s，已知粒子的电荷与质量之比=5.0×10 C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求：ab上被α粒子打中的区域的长度。（图12）

解析 本题需要突破的难点在于确定粒子击中感光板ab的范围，先可以作出任意速度方向的轨迹圆。在分析时应注意根据半径公式R=，计算得到粒子在磁场中运动的半径R=10 cm，即R

考虑粒子绕行方向是逆时针，则拖动圆心O，可以很直观地看到轨迹圆能击中ab最右边的交点到S的连线为一条直径，如图14所示。继续逆时针拖动圆心O，当轨迹圆与ab相切时，切（上接第54页）点是粒子能击中的最左侧的点，如图15所示。求解两个临界状态间交点间的距离，即可得到ab上被α粒子打中区域的长度。

值得提醒的是，在利用几何画板制作轨迹圆旋转动画时，由于圆心O其实是绕粒子源S在一个圆周上运动的，因此，圆心O不能随意绘制一个点，应该先以S为圆心绘制一个圆，然后在圆周上绘制点O，隐藏掉该圆后，不管怎样移动O点，它都只能在该圆周上运动了。

几何画板由于其较为简单易学，在数学教学中给老师和学生们带来了极大的便利。同时，由于物理规律大都有数学的依据，巧妙地把几何画板应用于物理教学中，同样也能达到事半功倍的效果。

（栏目编辑 王柏庐）