对解析几何问题的几个热点题型探究

王斯诺

解析几何涉及高中必修2和选修中相关内容，圆锥曲线是平面解析几何的核心部分。其主要内容包括圆锥曲线的轨迹方程，直线与曲线的位置关系，定点、最值、范围问题，存在探索性问题等。

解析几何题型考查的主要内容 ：

项目 主 要 问 题 内 容

椭圆、面积最值问题 圆的一般方程、直线与椭圆的位置关系、最值问题

直线与椭圆的关系、弦长公式、范围问题

直线与椭圆的关系、定值问题、与存在性问题

椭圆的标准方程、离心率、直线与圆的位置关系、点到直线的距离

直线与椭圆的综合问题

双曲线与抛物线 直线与抛物线相切，抛物线的性质

抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、轨迹方程

以上是解析几何问题中涉及的基本内容，需要首先掌握解析几何的基本知识，在解析几何的基本知识的基础上，可对解析几何涉及的几种题型做做深入探究。

二、解析几何四种题型的解析：

（一）、题型一：求轨迹方程

基本步骤：建系——设点——列式——化简——验证

方法分析：一般有三种方法。第一是直接法，就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程。第二是定义法，从曲线定义出发直接写出方程。定义法和待定系数法适用于已知曲线类型。第三是代入法，先设出动点坐标P（X，Y），寻求动点P（X，Y）与已知动点Q（X′，Y′）的关系，建立P、Q两座标间的关系，并表示出（X′，Y′），将X′，Y′代入已知曲线方程化简求解。

以下题为例对求轨迹方程这类题型进行解析。

例：设圆X2+Y2+2X-15=0的圆心为A，直线L过点B（1，0）且与X轴不重合，L交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E（1）证明：∣EA∣+∣EB∣为定值并写出点E的轨迹方程。

（2）设点E的轨迹为曲线G，直线L交G于M、N两点，过B且与L垂直的直线与圆A交于P、Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范圍。

分析此题以圆为背景，题干信息∣EA∣+∣EB∣为定值，即可将∣EA∣+∣EB∣与圆的半径r相联系，∣EA∣+∣EB∣为定值，A、B为定点，E的轨迹方程即为椭圆，即可求解。

解析：1、因为：∣AD∣=∣AC∣ EB∥AC

推出：∠EBD=∠ACD=∠ADC

推出：∣EB∣=∣ED∣

∣EA∣+∣EB∣=∣EA∣+∣ED∣=∣AD∣

根据：X2+Y2+2X-15=0 推出 （X+1）2+ Y2=16

得出：∣AD∣=4

推出：∣EA∣+∣EB∣=4

A（-1，0） B（1，0） ∣AB∣=2

由椭圆的定义得出：E点的轨迹方程为X2/4+ Y2/3=1（Y≠0）

2、当L与X轴不垂直时，设L：y=k（x-1）（k≠0） M（X1 Y1） N（X2 Y2）在此处键入公式。

Y=k（X-1） 且 X2/4+ Y2/3=1

则 X1+ X2=8k2/（4 k2+3）

X1* X2=（4 k2-12）/ （4 k2+3）

所以：∣MN∣=12（k2+1）/（4 k2+3）

过点B（1，0）且与L垂直的直线m：y=-1/k（x-1）

A到MD的距离2/√（k^2+1）

所以∣PQ∣=4√（〖（4k〗^2+〖3）/（k〗^2 ）+1）

所以SMPNQ=1/2∣MN∣*∣PQ∣=12√（1+1/（4k^2+3））

L与X轴垂直时，X=1 ∣MN∣=3 ∣PQ∣=8 S=12

通过以上分析计算，四边形MPNQ面积的取值范围（12，8√3）

（二）、题型二：定点、定值

对于此题型有两种解题策略，第一特殊探求，一般证明；第二假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点。

以下题为例对求定点、定值这类题型进行解析。

例：已知椭圆y2/a2+ x2/b2=1 （a>b>0）的两个焦点为F1、F2，离心率为 √2/2，直线L与椭圆相交于A（x1， y1） B（x2， y2）两点，且满足∣AF1∣+∣AF2∣=4√2，O为坐标原点。

求椭圆方程。

设m=（x1/b，y1/a），n=（x2/b ，y2/a），若m*n=0，试问△AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是请说明理由。

问题一可以通过椭圆的定义进行解析，问题二可以通过“设而不求”的解题方法解析。

解析：1、因为 2a=∣AF1∣+∣AF2∣=4√2

所以 a=2√2

因为 椭圆y2/a2+ x2/b2=1 （a>b>0）的两个焦点为F1、F2，离心率为 √2/2

得出 ： c/a=√2/2 c=2

b2=a2-c2=4

椭圆方程为： y2/8+ x2/4=1

2、当AB与X轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m

y= kx+m 且2x2+y2-8=0

推出： （2+k2）x2+2kmx+m2-8=0

由题意知：△=4k2m2-4（2+ k2）（m2-8）>0

即8*（4k2- m2+8）>0

所以 x1+x2=-2km/（2+k2） x1* x2=（m2-8）/（2+k2）endprint

又由m*n=0 得出（x1/b）*（ x2/b）+（y1/a）*（y2/a）=0

所以x1*x2/4+ y1 y2/8=0

y1 y2=2（m2-4 k2）/（2+ k2）

所以 （m2-8）/（2+ k2）+（m2-4 k2）/（2+ k2）=0

所以 2 k2+4= m2

∣AB∣=√（（1+ k^2）） *√（8*（4k^2 m^2+8） ）/（2+k^2）

点O到直线AB的距离 d=∣m∣/√（1+k^2 ）

S△AOB=1/2∣AB∣*d=2√2

当AB与X轴垂直时，x1=x2 y1=-y2

则x12/4- y12/8=0 x12/4+ y12/8=1

推出：x1=√2 y1=2或-2

A（√2，2） B（√2，-2） d=√2

S△AOB=1/2∣AB∣*d=2√2

通过上述解析，可以推出△AOB的面积为定值2√2。

（三）、题型三：最值范围问题

这类题型有两种解决方法：第一种是代数法，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法、基本不等式、换元法、导数法，或利用判别式构造不等关系，利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值范围。第二种是几何法，根据圆锥曲线的几何意义求最值。求参数范围的常用方法有函数法、不等式法、判别式法。

（四）、题型四：圆锥曲线的探索性问题

这类题型有如下的解决方法：第一：是否存在常数的问题，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在。第二：是否存在点的问题，可依据条件，直接探究其结果，也可以举例然后再证明。第三：是否存在直线问题，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程，消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解。

以下题为例对求最值范围这类题型进行解析。

例：已知椭圆C：：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的离心率为e=1/2，点A为椭圆上一点，∠F1 AF2=600且S△F1 AF2=√3

求椭圆C的方程。

設动直线L：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，问X轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求坐标；若不存在，请说明理由。

根据以上题意，解析：1、由：c/a=1/2 且 ∣AF1∣+∣AF2∣=2a 且1/2∣AF1∣*∣AF2∣sin?〖〖60〗^0 〗=√3 且{（AF1）2+（AF2）2-（F1 F2）2}/2∣AF1∣*∣AF2∣=cos?〖〖60〗^0 〗=1/2

推出：a2=4 b2=3

推出：椭圆C的方程为：x2/4+y2/3=1

以上是在学习解析几何中经常遇到的四种题型，它们的特点是有较大的计算量，但思路都比较简单单一，只要我们掌握了上述四种题型的解答方法和策略，定能对解析几何问题应对自如。endprint