浅析在数学解题中辅助圆的运用

2018-01-19蔡耀龙

都市家教·上半月 2017年12期

蔡耀龙

【摘要】在初中数学的解题过程中，有很多的几何论证题目是常规思路无法解决的，可以利用圆所具有的特征，结合题目的具体情况，对难以解决的几何题目进行论证。本文简单介绍几种利用圆的特征建造辅助圆，然后对需要论证的问题进行解决的思路。

【关键词】数学解题；辅助圆的运用

在初中的几何题目当中，有些时候要用到很麻烦的解题思路方法，甚至于连续的相似去求得边长或角度的关系；但是有时候添加必要的辅助线是解决平面几何相关问题的重要手段之一，同时往往也是解题的关键之所在；在平时的解题中，线段和直线（平行线或垂线）这些作为辅助线是我们大家最熟悉和最常用的一种手段。

而有些时候我们可以另外构造一个图形，比如作全等图形，可通过平移、旋转、翻折等方式来得到，这种我们称作构造辅助图形。其实我们也可以去根据条件构造辅助圆，很多问题的结论或证明过程都可以借助圆的相关一些知识或性质直接就能得到，可此时的圆并不存在（有可能题目的已知条件中没有提到或者涉及到相关圆；或有可能提到或涉及到圆，但是不是我们所需要的），这就需要我们根据需要或已知条件入手，再结合图形把实际存在的圆找出来，就要去练就一双 “火眼金睛”。

要懂得圆的相关知识，如经过两个点可以画出无数个圆；经过不在同一直线上的三个点可以作一个圆，并且只能作一个圆。圆有好几个判定定理和性质，但是要跟大家强调的是有两个①圆的定义：到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上；②同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆。这两个知识经常用到，而且结合这两个知识构造辅助圆来解题在大部分题目中都能体现出来。其实这就是我的“火眼金睛”。

一、到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上

经常看到题目给定好几条线段相等，而且也能看到是过一固定点的所有线段相等，此时我们就应该考虑这几点共圆，经过这几点去作圆。

例1：

如图1，四边形ABCD中，AB=AC=AD，

若∠CAD=76°，则∠CBD= 度。

解析：如果直接去想去做，估计连想都不会想，更何况是做，甚至于连半点思路都没有。

但是如果抓住AB=AC=AD这个条件入手，只需以点A为圆心，AB为半径作圆，画出图形再结合圆的性质就比较简单、直接、明了。

就能得到∠CBD等于∠CAD的一半，即38°。

也就是说题目中只要出现AB=AC=AD，像这样的共端点的等线段问题就可以去考虑以点A为圆心，AB为半径作辅助圆，这样既节省时间又容易做对，而且很轻松就可以考虑到。

二、同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆

同弧所对的圆周角都相等这个性质经常用到，同样要懂得利用“同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆”来解决相关题目；此时构造的圆可以把相等的角转化出来，很容易就看出来，联系起来。

例2：如图2，已知抛物线y=a（x-2）2+1与x轴从左到右依次交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），连结AC、BC。