量子隧穿效应的初步研究

李欣玥

【摘要】当我在书中接触到量子力学的时候，它向我展示了上帝是如何掷骰子的。通过自学大学知识，我慢慢了解到一个事实，那就是：在看上去确定的事件中却有着概率，表面看上去不可能发生的事，却总有微小的概率发生。利用薛定谔方程和波函数的知识，我建立了一个粒子翻越势垒的模型，求解出了粒子的透射系数T，当我假设粒子的能量达不到翻越势垒所需的能量时，我发现粒子仍有一定的概率“翻过去”，这个与经典物理不一样的结论使我十分惊讶。

【关键词】波函数  薛定谔方程  量子隧穿

【中图分类号】O413.1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）42-0159-02

1.前言

我通过一本科普书得知了量子力学这门学科，它的不确定性深深吸引着我。其中，我读到一个粒子在翻越势垒时，竟然存在着能否翻越的“概率”改变了我对微观世界以往的认知。因此，我学习了薛定谔方程，求解了一维势垒，大致解释了它的概率问题。

2.基础知识

想要求解这个问题，需要学习量子力学知识。

首先在量子力学中，对物质的描述采用波函数？追（x，y，z，t]，它定量的描述了物质波，是物质波的统计解释，并证明了物质波是一种概率波。对于波函数有如下的一些解释：

（1）？追是概率幅

（2）|？追|2=？追？鄢？追是概率密度（？鄢代表复数共轭）

（3）一维定态问题中|？追（x）|2dx是在x附近dx间隔内发现粒子的概率

（4）一维定态问题中■|？追（x）|2dx是在x1到x2间隔内发现粒子的概率

以上便是物理学家波恩对波函数的解释，这种解释也叫作哥本哈根解释（Copenhagen interpretation）。这种解释也赋予了波函数如下的基本性质：

（1）波函数是单值的，连续的，有限的

（2）|？追（x）|2dx和C|？追（x）|2dx给予波函数同样的相对概率（C为常数），因此一般我们可以采用归一化条件，如在一维定态问题中要求？蘩|？追（x）|2dx=1

（3）波函数满足叠加原因，如果？追1，？追2是系统的可能态，则其线性组合？追=C1？追1+C2？追2也是系统的可能态

其次，便是基本的运动方程——薛定谔方程，如下式：

i？攸■？追=-■？荦2？追+U？追

其中，？荦2=■+■+■，是拉普拉斯算子（Laplace Operator），拉普拉斯算子在这里是三维欧几里德空间中的一个二阶微分算子。

薛定谔方程就像牛顿定律在经典力学中的作用一样，它为量子力学奠定了基础，其正确性只能靠实验来检验。它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量。

通过学习大学的知识，我知道了如果能量是不含时的，薛定谔方程可以分离变量：

令？追（x，y，z，t）=？渍（x，y，z）f（t），代入薛定谔方程可以得到：

时间上

f（t）=Ce■

空间上

-■？荦2？渍（x，y，z）+U（x，y，z）？渍（x，y，z）=E？渍（x，y，z）

其中，常数E就是系统的能量，上式便是定态的薛定谔方程。

3.建模与求解

为了研究量子隧穿效应，这是一个一维问题，我们假设一个粒子质量为m，能量为E，从无限远处沿x轴从左往右入射，它会经过一个势垒的势场，高度为U0，宽度为a，即

U（x）=U0，0

代入2.中得到的定态薛定谔方程，得

-■■？渍（x）=E？渍（x）  x≤0，x≥a

-■■？渍（x）+U0？渍（x）=E？渍（x）  0

整理可以得到：

■？渍（x）+■？渍（x）=0   x≤0，x≥a

■？渍（x）+■？渍（x）=0   0

这是标准的二阶微分方程，我们可以得到解如下：

？渍（x）=Ae■+Be■   x<0Ce■+De■   00

其中k12=■，k22=■，而A，B，C，D，F，G为六个待定的系数。

我们已知eix为从左往右的波，e-ix为从右往左的波，因为粒子最初从x轴负半轴入射，那么在势垒的右边没有从右往左的波，所以G=0。同时，由2.1中的哥本哈根解释，波函数在x=0和x=a的位置应该连续，则

A+B=C+D

Ce■+De■=Fe■

波函数在x=0和x=a的位置的一阶导数应该连续，则

Ak1-Bk1=Ck2-Dk2

Ck2e■-Dk2e■=Fk1e■

因此，我们得到了4个独立的方程，其中A，B，C，D，F为5个未知数，未知数个数比方程多一个，因此我们可以假设F为已知量，则可以得到其他四个未知数的值，求解結果如下：

A=ch（k2a）■sh（k2a）e■F

B=■sh（k2a）e■F

C=■e■F

D=■e■F

这样我们便求解出了？渍（x）。

4.分析

在这个问题中，当粒子翻越势垒时，粒子可以翻越势垒到达x大于a的区域，但有一部分在x小于等于a的区域被反弹回去，一部分没有被反弹，因此我们可以定义一个投射系数T，如下式：

T=■

由3.的计算可得：

T■=■

如果满足ik2a≥1，E

T≈e■

分析我们求得的T值，我们可以发现，E

5.总结

为了求解一维势垒，我学习了波函数，基本运动公式，以及定态薛定谔方程-■？荦2？渍（x，y，z）+U（x，y，z）？渍（x，y，z）=E？渍（x，y，z），得知了波函数的具体形式和对应的能量。之后又通过建模，假设了一个质量为M，能量为E的粒子将要翻越势垒的情况，求得了它在E

参考文献：

[1]卢德馨.大学物理学[M]. 北京：高等教育出版社， 1998.