几种离散型随机变量母函数探讨

李青阳

【摘要】本文主要探讨了常见整值随机变量的母函数。本文第一部分主要给出了整值随机变量的概念，并给出了整值随机变量的母函数和数学期望与方差的关系;第二部分主要给出了几种常见的整值随机变量的母函数，并通过母函数给出了这几种随机变量的数学期望。

【关键词】整值随机变量  母函数  数学期望

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）42-0136-02

一、整值随机变量母函数的概念及性质

本小节主要介绍整值随机变量和母函数的概念。

我们称取非负整数值的随机变量为整值随机变量。对于整值随机变量，有一种处理方法很便于利用，这就是母函数法。

定义1 整值随机变量ξ的可能取值为0，1，2，…，对应的概率分别为p0，p1，p2…，则称Pξ（s）=■p■s■为随机变量ξ的母函数。

关于随机变量函数的数学期望有一个著名的统计学公式，由定理1给出。

定理1 （佚名统计学公式） 若函数f（x）是一元连续函数，若离散型随机变量X的可能取值为x0，x1，x2，…，对应的概率分别为p0，p1，p2…，那么新的随机变量Y=f（X）的数学期望为：

E（Y）=■f（xi）pi

有佚名统计学公式，随机变量母函数可以改写为：

Pξ（s）=E（s■）

随机变量母函数的其中一个应用是求随机变量的数学期望。首先可以给出随机变量母函数的导函数：

Pξ′（s）=■kpks■

随机变量母函数的导函数在1处的导数即为该随机变量的数学期望：

Pξ′（1）=■kpk=E（ξ）

随机变量母函数的二阶导数和随机变量的方差存在密切的联系，首先随机变量母函数的二阶导数为：

Pξ′（s）=■k（k-1）pks■

由佚名统计学公式，随机变量函数的母函数在1处的二阶导数为：

Pξ′（1）=■k（k-1）pk=E[ξ（ξ-1）]=E（ξ■）-E（ξ）

因此随机变量的方差和母函数的关系为：

D（ξ）=E（ξ■）-E■（ξ）=Pξ′（1）+Pξ′（1）-[P′（1）]■

二、几种整值随机变量的母函数推导

（一）二项分布

二项分布是伯努利分布的推广，在n次伯努利试验中，我们定义随机变量X1为某事件A发生的次数，则称随机变量X1服从二项分布，记作X1～B（n，p）。

随机变量X1的概率分布为：

P（X1=k）=C■■p■（1-p）■，k=0，1，2，…，n

二项分布的母函数为：

P■（s）=E（s■）=■C■■p■（1-p）■s■=■C■■（sp）■（1-p）■=（1-p+sp）■

由二项分布的母函数可以给出二项分布的数学期望为：

P′■（s）=np（1-p+sp）■

因此二项分布的数学期望为：

E（X1）=P′■（1）=np

（二）超几何分布

假定在N件产品中有M件次品，其余产品为正品，在N件产品中随机抽取n件产品，记X2为次品件数，则称随机变量X2服从超几何分布，记作X2～H（N，n，M）。

超几何分布的概率分布为：

P（X2=k）=■

其中，k∈{0，1，2，…，min{n，M}}

超几何分布的母函数为：

P■（s）=E（s■）=■■s■

这是超几何级数，是一种特殊函数，处理起来不太方便，在概率论中也很少用，这不再计算最终公式。

（三）泊松分布

假设随机变量X3的可能取值为一切非负整数值，并且，

P（X3=k）=■e■，k=0，1，2，…

其中，λ>0，为常数，则称随机变量X3服从泊松分布，记作X3～P（λ■■）。

泊松分布的母函數为：

P■（s）=E（s■）=■■e■s■=e■■■=e■e■=e■

泊松分布母函数的导函数为：

P′■（s）=λe■

泊松分布的数学期望为：

E（X3）=P′■（1）=λ

（四）几何分布

进行重复、独立的伯努利试验，设每次试验成功的概率为p，若将试验进行到有一次成功为止，以随机变量X4表示所需试验次数，则称X4服从几何分布，记作X4～G（p）。

几何分布的概率分布为：

P（X4=k）=（1-p）■p

其中，k=1，2，3，…

几何分布的母函数为：

P■（s）=E（s■）=■（1-p）■ps■=ps■[s（1-p）]■=■

几何分布母函数的导数为：

P′■（s）=■

所以几何分布的数学期望为：

E（X4）=P′■（1）=■

三、结束语

随机变量的母函数对于随机变量重要数字特征的计算是非常重要的。很多随机变量的数学期望和方差的计算是比较复杂的，引入随机变量母函数的概念以后，随机变量的数学期望和方差变得简单了很多，但是随机变量的母函数的缺点也比较大，因为只有整值随机变量才有母函数的概念，因此应用范围也是比较有限的。

参考文献：

[1]王思俭.探公式，窥本质——二项分布、超几何分布的数学期望与方差公式探究[J]. 新高考：高二数学，2014（4）.

[2]曹四清.相映生辉的四种概率分布[J].中学生数理化（高考数学），2013（2）.

[3]唐锐光.超几何分布、二项分布的期望与方差公式的统一证法[J].数学通讯，2009（22）：24.