线性变换的矩阵表示

谈强 朱鹏

【摘要】研究線性空间的线性变换时，矩阵就会很自然地出现. 本文学习了同一线性空间上线性变换的矩阵表示和不同线性空间之间线性变换的矩阵表示。

【关键词】线性变换  矩阵表示

【Abstract】Matrix appears naturally when we study linear transformation in linear space. In this paper， we study matrix representation of linear transformation in the same linear space and matrix representation of linear transformation between different linear spaces.

【Keywords】linear transformation; matrix representation

【基金项目】本文得到国家自然科学基金项目（11701226， 11471145）;江苏省自然科学基金项目（BK20170519）;“青蓝工程”项目资助。

【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）42-0132-02

1.同一线性空间上线性变换的矩阵表示

假设S={v1，v2，…，vn}是n维实线性空间V的一组基。如果α∈V，则一定存在唯一的一组实数α1，α2，…，αn使得α有如下表示α=■αivi。从而我们可定义α在基S下的向量表示为[α]S=（α1，α2，…，αn）。

假设L：V→V是线性空间V上的一个线性变换。所谓V上的线性变换就是满足下面的线性关系的一个映射[1]：

L（kα+lβ）=kL（α）+lL（β），k，l∈R，α，β∈V

对每一个vj我们均能找到唯一的一组实数{αij}使得满足L（vj）=■αijvi。

定义1：n×n阶矩阵A=（αij）称为线性变换L：V→V在基S下的矩阵表示。

给定一个向量α=■αivi=α1v1+…+αnvn∈V，由于L是线性的，α的像为L（α）=L（α1v1+…+αnvn）=α1L（v1）+α2L（v2）+…+αnL（vn）=■αjL（vj）=■■αjαijvi。

因此，在选定线性空间V的基S={v1，v2，…，vn}后，L就变成

. L：α=（v1，v2，…，vn）α1α2■αn|→ =（v1，v2，…，vn）Aα1α2■αn

也就是说当基固定或是不考虑基时，一个线性变换L可以简单地表示成：L：α|→ Aα。这就是说一个线性变换L完全由它的矩阵A决定;反过来，如果给定一个矩阵A，由上面的推导过程我们知道A也可以定义一个线性变换。因此当基选定后，线性空间上的线性变换就和矩阵一一对应起来了[2]。这样，我们可以通过研究矩阵来研究线性变换。这样一来就比较直观，便于操作和计算;同样地，我们研究矩阵时，如果把每个矩阵看成线性变换，则许多问题就能很好的解决，也便于给出直观的解释。下面自然而然引出一个问题：如果我们在线性空间上选取另外一组不同的基，重复上面的推导，则我们也可以用一个矩阵B={bij}表示线性变换L。这时的矩阵A和矩阵B有什么关系呢？下面就来考虑这个问题。

假设T={w1，w2，…，wn}是V的另一组基， α在基T下的表示为α=■biwi. 则我们有如下关系式：

α=（w1，w2，…，wn）b1b2■bn=（v1，v2，…，vn）α1α2■αn，

L（α）=（w1，w2，…，wn）Bb1b2■bn=（v1，v2，…，vn）Aα1α2■αn.

另外，对每一个vi我们均能找到唯一的一组实数{Pij}使得满足vi=■Pijwj，即（v1，v2，…，vn）=（w1，w2，…，wn）P，其中P={Pij}。 这样一来我们便可得到如下关系式：

α=（w1，w2，…，wn）b1b2■bn=（w1，w2，…，wn）Pα1α2■αn，

L（α）=（w1，w2，…，wn）Bb1b2■bn=（w1，w2，…，wn）PAα1α2■αn.

从而我们得到α1α2■αn=P-1b1b2■bn和L（α）=（w1，w2，…，wn）Bb1b2■bn=（w1，w2，…，wn）PAα1α2■αn=（w1，w2，…，wn）PAP-1b1b2■bn.

最后我们得到B=PAP-1。也就是说V上的线性变换L在不同基下的矩阵式相似的[3]。

2.不同线性空间之间线性变换的矩阵表示

下面我们考虑不同线性空间之间的线性变换。假设E={e1，e2，…，em}是m维实线性空间W的一组基，L：V→ W是线性空间V到W的一个线性变换。对每一个vj我们均能找到唯一的一组实数{cij}使得满足L（vj）=■cijei。

定义2：m×n阶矩阵称C=（cij）为线性变换L：V→ W在基S和E下的矩阵表示。

记L（V，W）为线性空间V到W的所有线性变换的集合。另外，对F，G∈L（V，W）和任意实数k，我们定义F+G：V→ W，（F+G）（α）=F（α）+G（α）;kF：V→ W，（kF）（α）=kF（α）。从而易知，在上述运算法则下L（V，W）构成一个线性空间。我们不妨来简单验证下。首先，显然kF：V→ W是一个线性变换。另外，对于任意的实数k，l和α，β∈V，由上述定义，我们可得

（F+G）（kα+lβ）=F（kα+lβ）+G（kα+lβ）

再由F，G是线性的，我们有

F（kα+lβ）+G（kα+lβ）=kF（α）+lF（β）+kG（α）+lG（β）=k（F+G）（α）+l（F+G）（β）

易见，F+G：V→ W是一个线性映射，所以L（V，W）构成一个线性空间。

假设m×n阶矩阵A=（αij）和B={bij}分别为线性变换F，G：V→ W在基S和E下的矩阵表示。

按照定义，对每一个vj我们有F（vj）=■αijei和G（vj）=■bijei。这样一来，我们就有（F+G）（vj）=F（vj）+G（vj）=■αijei+■bijei=（■αij+■bij）ei和（kF）（vj）=kF（vj）=k■αijei。则我们有如下定理[2]：

定理3：F+G：V→ W在基S和E下的矩陣表示为A+B;kF：V→ W在基S和E下的矩阵表示为kA。

3.矩阵表示的意义

假设L：Rn→Rn是线性空间Rn上的一个线性变换。对Rn中的每个向量x，L（x）由Ax计算得到，其中A是n×n矩阵，将这样一个矩阵变换记为x→Ax。显然L的值域为A的列向量的所有线性组合的集合。显然每个矩阵均可定义一个线性变换。知道线性变换的矩阵有什么好处呢？能够简化向量转换的计算过程吗？能够方便我们理解向量变换吗？我们下面看一个例子：

二维向量空间的单位正交基可以用单位矩阵I=■=（e1，e2）表示。同理，三维向量空间的单位正交基也可以用单位矩阵I=■=（■1，■2，■3）表示。设L：R2→R3是线性空间R2和R3之间的一个线性变换，有L（e1）=■， L（e1）=■。则线性变换L：R2→R3在基S和E下的矩阵表示为■。下面我们求R2中的任意一个向量x=■被L变换后的向量。二维向量空间R2中的任何一个向量都是基向量e1和e2的某个线性组合：x=■=x1e1+x2e2。因为L是一个线性变换，所以我们得出：

L（x）=L（x1e1+x2e2）=x1L（e1）+x2L（e2）=（L（e1）L（e2））■=■■

最后结果就很容易得出了L（x）=■=x1（5■1-7■2+2■3）+x2（-3■1+8■2）。可以看到，对任何向量x进行线性变换L的结果向量，是一个对基向量组进行线性变换L之后的新向量组的一个线性组合，系数没变[4]。这就告诉我们对于线性空间之间的线性变换，我们只要知道线性变换的矩阵表示（即，只需要知道两组基向量转换之后的结果），而不用知道转换本身，我们就能推导出线性空间中所有向量转换之后的结果。

4.拓展：向量的旋转变换

从前面几节的描述，我们得出结论：只要知道线性变换L作用于基向量组的结果，我们就能用一个矩阵来表示这个线性变换。

设L：R3→R3是一个将R3中的三维向量v=■沿x轴顺时针旋转 θ度的变换L（v）=Av，求这个变换矩阵A。L（v）=L（xe1+ye2+ze3）=xL（e1）+yL（e2）+zL（e3）=（L（e1） L（e2） L（e3））■。所以，A=（L（e1） L（e2） L（e3））， 对基向量进行变换， 很直观的就能得到这个旋转矩阵：

A=■

同理可以很容易的推出沿其他轴旋转的旋转矩阵。

参考文献：

[1]张禾瑞， 郝柄新. 高等代数（第四版）[M]. 北京： 高等教育出版社， 1997.

[2]许以超.线性代数与矩阵论2版[M]. 北京： 高等教育出版社，2008.

[3]李尚志.《线性代数》新教材教材案例（之二）[J]. 大学数学，2012（4）：5-12.

[4]米山国藏著，毛正中，吴素华译.数学的精神、思想和方法[M].成都：四川教育出版社，1986.

作者简介：

谈强（1986.01-），男，汉族，江苏宜兴人，博士，讲师，江苏大学理学院教师，研究方向为微分几何。

朱鹏（1980.07-），男，汉族，江苏姜堰人，博士，教授，江苏理工学院教师，研究方向为微分几何。