泰勒公式的证明及应用

李晟威

【摘要】本篇论文主要讲述了泰勒公式的发展历程，并且通过柯西中值定理来对泰勒公式进行推导。随后结合实际例子来说明泰勒公式在数值计算以及极限推导中的应用。最后探究了泰勒公式演化出牛顿迭代法数值计算方法和计算逻辑。

【关键词】泰勒公式  导数  牛顿迭代法  罗尔中值定理  拉格朗日中值定理  柯西中值定理

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）42-0129-02

当我们首次接触到泰勒公式及其定理時，我们会感觉到它的磅礴大气，但其实究其本质，这是一种让我们在实际问题中，用多项式函数去逼近光滑函数，并得到误差的方法。那么这个伟大的公式是如何一步步被我们得到，以及进行运用的呢？

一、泰勒公式的发展

泰勒公式是以18世纪早期英国数学家泰勒（Brook Taylor）命名。1708年，23岁的泰勒得到了“振动中心问题”的解，引起了人们的注意，在这个工作中他用了牛顿的瞬的记号。1717年，泰勒以泰勒定理求解了数值方程。

本质来讲，泰勒公式是将函数用多项式来进行表示。并且通过函数在某点的信息来描述点附近取值的公式。如果函数是光滑的情况下，泰勒公式可以使用该点附近的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。并且泰勒公式中通过柯西中值定理给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。在下面，我们将会对泰勒公式进行详细证明以及对其实际应用进行探讨。

二、泰勒公式及其证明

定理：如果函数f（x）在x0的某个领域U（x0）内具有（n+1）阶导数，那么对任意x∈U（x0），有

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+Rn（x）

其中Rn（x）=■（x-x0）n+1，α为x0与x之间的某个值。

在证明泰勒公式的定理前，首先要介绍柯西中值定理的推导，而柯西中值定理可由罗尔中值定理推出，使用的是构造对应函数求导的方法，所以证明罗尔定理为第一步。

罗尔中值定理：如果函数f（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续;（2）在开区间（a，b）内可导;（3）f（a）=f（b）。那么在开区间（a，b）内至少存在一点β∈（a，b），使得f′（β）=0。

证明：如果？坌x∈（a，b），都有f（x）=f（a），那么有？坌x∈（a，b），f′（x）=0，命题得证。如果？埚x∈（a，b），使得f（x）≠f（a），那么存在某一点β，在该点函数f（x）取得最大值或最小值，并且这个不是a或者b，而在这个最值点上，导数为0。因此，必有f′（β）=0，罗尔中值定理得证。

柯西中值定理：如果函数f（x）及F（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续;（2）在开区间（a，b）内可导;（3）对任意x∈（a，b），F′（x）≠0。那么在（a，b）内至少有一点ξ，使等式■=■成立。

下面我们开始证明泰勒公式，

首先令Pn（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n，有：Rn（x）=f（x）-Pn（x）。构造辅助函数g（ω）=f（x）-（f（ω）+f′（ω）（x-ω）+■（x-ω）2+…+■（x-ω）n）。

我们需要得到Rn（x）的表达式，也要想办法运用柯西中值定理。

假设ω在[x，x0]之间，g（ω）则在[x，x0]上连续，并由上式可知g（x0）=Rn（x），且g（x）=0。此时要求出g（x0），先对g（ω）求导，而此时式中出现了n阶导，由导数的算法得知，我们需要假设f（x）在定义域内n+1阶可导

g′（ω）=-f（ω）-f′（ω）（x-ω）+f′（ω）-■（x-ω）2-f′（ω）（x-ω）-…-■（x-ω）n+■（x-ω）n-1

找到规律：从第一项起，负项和正项抵消，最终g′（ω）=

-■（x-ω）n。

另设函数h（x）=（x-x0）n+1，可以得到h（x0）=0，h′（ω）=-（n-1）（x-ω）n。根据柯西中值定理可知g（x0）=g（x）-■[h（x0）-h（x）]=■（x-x0）n+1，即为Rn（x）=■（x-x0）n+1。

也即是f（x）=Pn（x）+Rn（x）得证！

三、泰勒公式的应用

泰勒公式是用多项式来对函数进行逼近，所以在数值计算以及函数近似的方面都有着极其重要的用处。

1.计算e0.001（精确度为10-7）

在计算上述式子时，是无法直接得出答案的，这时就可以使用泰勒公式可以得到：ex=1+■+■+R3（x），-∞

而我们知道R3（x）已经在10-9的级数范围，所以可以知道

e0.001≈1+■+■=1.0010005

2.计算极限■■

根据泰勒公式可以知道：■■=■■=■■=1

3.数值算法：牛顿迭代法

当泰勒公式运用在物理领域时，它又有了新的名字：牛顿迭代法。 而牛顿迭代法正是将局部线性化的方法用于求解方程，该方法根据一个根的猜测值x0作为初始近似值，当我们不断地使用泰勒级数展式的前两项作为某个函数f（x）的近似表达式，由于该表达式是一个线性函数，所以我们可以用该表达式来代替f（x）=0中的f（x）的近似解xn，该近似解会越来越逼近我们所要求的根的值。

我们根据定义举出一个例子：假设方程的解为x？鄢，且x？鄢在x0的附近。那么，函数f（x）在点x0处使用第一次泰勒级数展式，即线性表达式为f（x）≈f（x0）+（x-x0）f′（x0），通过上述方法代换可得x1=x0-■，该x1就会比x0更接近于x？鄢，从而达到我们的目的。由此就衍生出了著名的牛顿迭代公式：xn+1=xn-■，（n=0，1，2…）

四、总结

在本篇论文中，主要探究了泰勒公式的推导过程，从特例罗尔定理走向普遍性的柯西中值定理，最后演化为泰勒公式。通过这篇论文，我了解到了数学的进步都是通过一次次的试探和科学的计算方法累积而成，绝非是一眨眼的功夫，而这些累积出来的成果，化为了一个个优美的公式，带给热爱数学的人无穷的精神财富，所以在平日的生活中，也需要有一颗善于推导，善于发现的心。

参考文献：

[1]伍胜健.北京大学数学教学系列丛书：数学分析（第一册）[M].北京大学出版社， 2015.