闭区间上连续函数的性质及其推广

张成卓

【摘要】连续函数是一类极其常见的函数类型，其无论在理论研究方面还是实际应用当中都具有很高的价值。闭区间上的连续函数具有很多优良的性质，这些性质往往是开区间上连续函数所不具有的。本文研究总结了闭区间上连续函数的一些性质，并对这些性质进行了简单的推广。

【关键词】函数极限  连续函数  闭区间

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）42-0124-02

1.引言

连续函数是一类常见的函数，例如高中阶段学习的函数基本都是连续的。连续函数具有诸多优良的性质，特别是在闭区间上，连续函数具有很多在实际中极其常用的性质。但是，在实际应用中，自变量的取值不一定构成闭区间，故很多学者都对这些性质进行过推广，如聂锡军[1]考虑将这些性质推广到开区间上;郭玉立[2]对这些性质的条件作了一些更改;温丽萍[3]则进一步考虑了无限区间的情况。但是这些讨论都是孤立的，且仅给出了性质成立的新的条件，没有从比较的角度分析这些性质成立的根源。

本文研究总结了闭区间上连续函数的一些基本性质，并将这些性质推广到了更一般的区间上。此外，本文对比讨论了这些性质所需条件的强弱，给出了对这些定理整体上的理解。

2.连续函数及其基本性质

2.1函数极限与连续函数

我们首先给出函数极限的定义。

定义1  设函数f（x）在点x0附近有定义。A是实数，若对任意正实数ε>0，都有δ>0，使得当0

定义1中自变量和函数值均接近一个有限数。事实上，当自变量趋于无穷大或从单边趋于某个有限值、函数值趋于有限数或无穷大时也可以给出类似的定义。类似数列极限，函数极限也具有唯一性等诸多性质[4]。对函数极限补充定义和基本性质感兴趣的读者可以参考陈纪修等人[5]所著的《数学分析》。

根据定义1，我们可以进一步定义连续函数。

定义2  设函数f（x）定义域包含点x0及其附近，且■f（x）=f（x0），则称函数f（x）在点x0连续，x0为f（x）的连续点。

如果在某個开区间内每个点上函数都连续，则称函数在这个开区间内连续。此外，类似单侧极限，我们还可以定义函数的单侧连续，并以此定义函数在闭区间等其他类型区间上的连续性。具体定义可以参考文献[5]。

接着，我们定义一致连续：

定义3  设函数f（x）在区间X上有定义，如果对任意正实数ε>0，都有δ>0，使得对任意X内的x1，x2满足0

连续性是函数的点态性质，但一致连续则是函数的非点态性质。显然，一致连续蕴含连续，但反过来不一定成立。

2.2闭区间上连续函数的基本性质

连续函数簇具有诸多优良的性质。在一定条件下，它们对四则运算、求反函数以及复合运算都封闭。此外，若函数定义域是闭区间，则我们还有如下性质：

定理1 （有界性定理）  设f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上有界。

显然，定理1中的闭区间必不可少，如f（x）=■， 当x在0和1之间时结论就不成立。又如f（x）=tan（x）， 当x在-■和■之间时结论亦不成立。

第二个性质是最值定理。

定理2（最值定理）闭区间[a，b]上的连续函数f（x）一定能在[a，b]上取得最大（最小）值。

最值定理在优化理论的分析证明中极其常用，例如我们可以用最值定理说明最优解的存在性。

此外还有介值定理。

定理3（介值定理）若f（x）在闭区间[a，b]上连续，则其能取到[a，b]上f（x）最大值和最小值之间的任何一个值。

介值定理的一个推论就是零点存在定理。即若f（x）于[a，b]上连续，且f（a）和f（b）异号，则存在ξ∈[a，b]，f（ξ）=0。零点存在定理是高中数学所述二分法求零点的理论基础。

3.闭区间上连续函数性质的推广

我们在上一小节中总结的性质在实际应用中十分常见，比如最值定理就可以应用在最优化问题中，为最优解的存在性提供保证。然而在实际中，自变量的取值不一定构成闭区间，因而讨论更一般区间上的连续函数的性质是必须的也是必要的。本节尝试将这些性质拓展到开区间和无限区间上，并讨论这些优良性质的本源。

3.1有界性定理的推广

定理5  设f（x）在有限开区间（a，b）上连续，且f（x）在a处的右极限和b处的左极限存在有限，则f（x）在开区间（a，b）上有界。

证明：由于f（a+）和f（b-）有限，不妨设f（a+）=A，f（b-）=B，则由局部有界性，存在δ>0，使得f（x）在（a，a+δ）∪（b-δ，b）上有界。而在[a+δ，b-δ]上，f（x）连续，由定理1，f（x）有界。故f（x）在（a，b）上有界，证毕。

进一步的，若我们将上述定理的区间改成无限区间，则有：

定理6  f（x）于区间（a，+∞）上连续，f（x）在a处的右极限存在且为有限数，且■f（x）=A（有限数），则f（x）在区间（a，+∞）上有界。

证明：由于f（a+）有限，不妨设f（a+）=A，则由局部有界性，存在δ>0，使得 f（x）在（a，a+δ）上有界;另一方面，由■f（x）=A可知，存在G，当x>G时， f（x）有界。而在[a+δ，G]上，f（x）连续，由定1，f（x）有界，故f（x）在（a，+∞）上有界，证毕。

从上述推广中我们可以看出，广义上说，决定连续函数有界性是否成立的一个关键因素是该函数在区间端点处的性态。对于有限区间，只要函数在区间端点的局部是有界的，则在整个区间有界;对于无限区间，只要当自变量在无限远处时函数是有界的，则函数在整个区间上有界。

若考虑一致连续函数的有界性，我们有下面的定理：

定理7  设f（x）于有限开区间（a，b）上一致连续，则f（x）在（a，b）上有界。

证明：首先考虑a。任取一个收敛到a的数列{xn}，不妨设xn∈（a，b），n=1，2，3…，由于f（x）于（a，b）上一致连续，故 ？坌ε>0，？埚δ>0，对任意x1，x2∈（a，b）满足x1-x2<δ，有f（x1）-f（x2）<ε，而根据Cauchy收敛原理，{xn}是基本列，故？埚N，使得？坌n，m>N，xn-xm<δ，从而f（xn）-f（xm）<ε。故{f（xn）}是基本列，故收敛。由Heine定理，f（a+）有限。同理可证f（b-）有限。故由定理5，结论立得，证毕。

注意到，定理7中有限開区间不能改成无限区间，如（a，+∞）。反例很多，如：f（x）=x2，x>0

3.2最值定理的推广

定理8  设f（x）在开区间（a，b）（可以为无限区间）上连续，且f（x）在a处的右极限和b处的左极限存在且相等（可以同为无穷大），则f（x）一定能在区间（a，b）上取到最大值或最小值。

证明：我们只证明（a，b）有限的情况，（a，b）为无限区间证明类似。若f（a+）和f（b-）有限，令

f（x）=f（a+）   x=af（x）    a

则f（x）是[a，b]上的连续函数。若f（x）是常值函数，则显然f（x）能在（a，b）上取到最大值或最小值。若f（x）不是常值函数，由定理2，f（x）能在[a，b]上取到最大值和最小值，且其中之一不等于f（a+）。故f（x）能在（a，b）上取到最大值或最小值。如果f（a+）=f（b-）=+∞，则固定G>0，？埚δ>0，使得当x∈（a，a+δ）∪（b-δ，b）时，f（x）>G，而在[a+δ，b-δ]上，f（x）连续，故由定理2，f（x）可以在[a+δ，b-δ]上取到最小值。由f（x）在两点a+δ，b-δ连续可知，该最小值亦是f（x）在（a，b）上的最小值。类似可证f（a+）=f（b-）=-∞时，f（x）在（a，b）上可取到最大值，证毕。

最值定理是否成立不仅取决于函数在区间端点的性态，还与函数在整个区间上的性态有关。对于定理8，如果我们仅要求f（x）在端点处的单侧极限存在，那么结论不一定成立。如f（x）=x，x∈（0，1）。

3.3介值定理的推广

定理9  设f（x）在有限开区间（a，b）上连续，f（a+）

证明：若f（a+）和f（b-）有限，令：

f（x）=f（a+）   x=af（x）    a

则f（x）是[a，b]上的连续函数。则由定理3，？坌ρ∈（f（a+），f（b-）），？埚γ∈[a，b]，f（r）=ρ。但显然γ≠a，γ≠b，故f（x）可以取到（f（a+），f（b-））内的任意值。若f（a+）=-∞，f（b-）有限，则令

f（x）=f（x）   a

则f（x）是（a，b]上的连续函数。？坌ρ∈（-∞，f（b-）），？埚δ>0，当x

定理9可以进一步放宽条件，把有限开区间换成无限区间结论也是成立的。从推广中可以看出，介值定理与函数在区间端点处的性态关系不大，但与中间值的取法有很大关系。

4.结语

本文研究总结了闭区间上连续函数的一些基本性质，并将这些性质推广到了更一般的区间上。此外，本文对比讨论了这些性质所需条件的强弱，分析了这些性质成立的条件，给出了对这些定理整体上的理解和把握，具有一定的理论意义。

参考文献：

[1]聂锡军.闭区间上连续函数的性质及其推广[J]. 丹东师专学报， 1994（1）：20-22.

[2]郭玉立.闭区间上连续函数性质的推广[J]. 广西民族大学学报（自然科学版）， 2004（s1）：2-4.

[3]温丽萍. 闭区间上连续函数性质的再推广[J]. 高等继续教育学报， 2007（3）：34-35.

[4]唐海波. 数列极限与函数极限的统一[J]. 河池学院学报， 2017（5）：70-75.

[5]陈纪修，於崇华，金路.数学分析-第2版[M]. 高等教育出版社，2004.