通信网络建模在高等数学课程中的渗透

张秀　张新

摘要：高等数学是一门通信工程专业的必修基础课程，为后期通信专业课的学习提供必要的保障。为培养该专业学生的通信网络建模思维及解决实际问题的能力，通过通信中典型的实例分析，分析数学模型的构造过程，并结合相应的软件编程开展对所建立模型的求解，强化了学生的建模思想，引起了强烈的学习兴趣，加深了对通信工程专业的理解和认识。结果表明：在高等数学中融入通信网络建模及求解的方式方法，得到了被试学生对象的认可，提高了数学的教学效果。

关键词：通信网络；数学建模；高等数学；条件极值

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）04-0198-02

引言

在我国，高等数学是各大高校理工科专业学生的必修课，也是为各理工科专业课程的学习奠定基础的一门课程[1]。以往的教学，教师往往注重微积分、解析几何及微分方程的理论讲授，重在各种理论推演方法，这与学生的期望相悖。调查显示，学生希望学到更多的与本专业有直接关联的知识，而高等数学作为基础课程，往往使学生感到枯燥乏味，提不起兴趣[2]。为解决这一矛盾，许多专家学者开始探讨在理工科课程教学中增加数学建模元素，可以一定程度地与实际相结合，引起学生学习的兴趣。在高等数学课程的学习过程中，融入数学建模的教学策略已经被广泛开发使用[3]。但对于通信工程专业来讲，由于低年级大学生尚未学习通信系统和理论知识，通信网络相关问题的建模很少用于高等数学的教学环节。因此，笔者研究了把通信网络问题的建模引入高等数学的课堂教学中，结合条件极值和相关软件，加强对学生的建模思想和思维的训练。

一、概述

数学建模思想和思维对通信网络的建模分析有积极的影响，特别是科研人员或研究生对构建数学模型的能力要求非常高，这是因为对通信系统性能的分析或信噪比、误码率、效能等指标的定量分析都需要构建相应的问题模型。因此，从低年级开始对通信工程专业学生的建模能力和水平进行培养和训练是非常必要的。笔者采用了以下两个实例问题开展研究。

1.基站选址问题。假设在一个矩形区域进行基站铺设业务，计划投资5000万元来铺设通讯中继站。根据实际情况已经找出7个候选位置作为中继站的候选位置，而矩形区域包括15个社区[4]。由于每个基站只能覆盖有限个社区，再加上区域内地理位置、交通等环境条件的影响，每个基站的铺设费用以及覆盖面积大小各不相同。要求在不超预算的情况下，找出最佳的铺设方案使得尽可能地覆盖区域内的人口。

2.区域覆盖问题。假设在一个正方形区域中有一个椭圆形的湖泊。除湖泊外的任何地点都可以增设节点，试构建一个自组织网络，将除湖泊外的地面部分用若干个圆全部覆盖。要求相邻的两个圆的相交面积大于等于两个圆中面积较大的圆的面积的5%，且全部圆的半径的代数和为最小[5]。

二、实例问题在教学中的运用

由于選取的实例是在一定的要求条件下，优化单个目标的问题，故应当结合高等数学中多元函数的极值章节来渗透。对于基站选址问题，考虑的是尽可能多地覆盖区域内的社区数量，而将投资预算定为不等式约束条件。另外，由于每个社区的人口密度不同，所以每个基站的覆盖面积可以用人口密度作为权重，以突出人口密度大的基站应该优先铺设的实际意义。

对于区域覆盖问题，可采取分而治之的建模思想，考虑到目标是使覆盖区域的所有圆的半径之和最小，故优先使用半径大的圆而不是半径小的圆。因此，第一步是用容许半径最大的圆对区域进行覆盖；第二步是刨除椭圆形湖泊的区域；第三步是对正方形区域的边界进行处理，对于大部分面积落在区域外部的圆进行半径缩减的处理。

建模完毕之后，讲授条件极值的知识，包括充分必要条件和拉格朗日乘子法。对模型的求解既可以通过手算也可借助于Mathematica与Lingo数学软件，对建立好的优化模型进行求解。如果在上述问题中增加实际条件，如基站选取位置时避开河流或高山、人口密集的区域增加覆盖强度等，面对这些约束，仅仅使用手算难以解决。可以将数学模型写出，整理成Mathematica或Lingo软件能够分析的模式，输入变量的范围、目标函数和约束条件的表达式，就能借助软件求出最优解决方案。为了验证是否是最优的解决方案，可以把模型分别输入到两种软件中，比对所得到的结果是否一致，如果一致说明结果有很大概率是最优解；否则，就所得到的解，带入数学模型，计算解的可行性和目标函数值，从而得出哪一个软件给出的解更好。求解过程不在此赘述。

三、教学效果

上述通信网络实例建模问题在高等数学教学过程中实施一段时间后，我们对授课学生进行了回访调查，经过与教研组的专家和任课教师讨论后，确定调查的问题如下：（1）基站选址和区域覆盖问题的实例能否积极影响自己对通信专业的认知？（2）两个实例问题的教学能否增强自己对数学建模思维和思想的掌握？（3）数学软件实验能否对高等数学的学习起到帮助？每个问题有三个选项，分别是A.能、B.模棱两可、C.不能。

经过分析整理，调查结果如下：对问题（1），A、B和C选项的比例分别为71.29%、9.68%和19.03%；对问题（2），A、B和C选项的比例分别为83.87%、0.00%和16.13%；对问题（3），A、B和C选项的比例分别为83.87%、0.00%和16.13%。由此得知，超过七成的学生感到两个实例问题的使用能积极影响自己对所学专业的认知；大约接近两成的人感受到负面影响，经过个别访谈获知，通信工程专业的学生在大学之前未接受过通信网络及建模的训练，感觉被教学中采用的实例和建模思想“吓到”了，甚至一听到建模就不能集中精力听讲。对问题（2）和（3），超过八成的学生选择了A，而B选项竟然没有学生选择，这表明大多数人都从这种教学策略中得到了有益的学习，认可了这种渗透机制，同时表现出学生对尽早接触本专业核心内容的渴望。

四、结论

对通信工程专业的学生，通过在高等数学的教学过程中，引入通信网络的实例分析，训练学生的数学建模方法和建模思维，初步形成解决本领域实际问题的认知，结合高数中函数极值和条件极值等章节，以Mathematica和Lingo软件作辅助，对所得到的模型进行求解，并验证解决方案的优劣，既加深了学生对极值问题的理解，磨练了数学软件的使用，又培养了他们对实际问题进行数学建模的思维和思想，并对通信专业有了浅显的认识，为学生在该领域的自身发展奠定了良好的基础。

参考文献：

[1]林昕茜.数学建模思想在高等数学教学中应用价值的研究[J].桂林电子科技大学学报，2009，（2）：155-158.

[2]马元魁.培养大学生科研创新能力的数学实验课程教学改革探索[J].教育教学论坛，2015，（12）：95-96.

[3]刘洪霞，秦婧，郭花.数学建模思想渗入大学数学课堂教学的试验研究[J].数学建模及其应用，2015，（4）：61-65.

[4]上官士青，辛浩然.数学建模通信基站选址问题的lingo求解[J].科技信息，2009，（23）：92-93.

[5]瞿勇，金裕红，宋业新.LINGO在Ad Hoc网络区域覆盖中的应用[J].兵工自动化，2011，30（10）：58-60.endprint