基于卷积的自助银行选址分析

马江山，李昱莹

1)深圳市城市交通规划设计研究中心，深圳市交通信息与交通工程重点实验室，广东深圳 518057； 2)中国工商银行河北分行，河北石家庄 050051

自助是银行业务处理电子化和自动化的一部分，其利用现代通讯和计算机技术，为客户提供智能化程度高、不受银行营业时间限制的全天候金融服务．自助银行网点的选址直接关系着自助银行的服务质量、资源利用率和经济效益，是一项专业性很强、应借助科学手段，进行细致的定性、定量分析和测算的工作[1]．选址问题通常被描述为一个多目标优化问题[2]，用于物流配送中心选址[3-4]、电动车充电站选址[5]及客运枢纽选址[6]等方面．陈志宗等[7]通过分析应急救援设施选址问题的特点，建立一个综合考虑设施公平性、效率性、快速反应和超额覆盖的多目标决策模型，并建议采用参数规划的加权法(对多个目标赋予不同权数)或约束法(将一个目标作为主要目标，其他目标转化为约束)求解该模型，但此方法不适于大规模选址问题．汤希峰等[8]在研究配送中心选址时，运用贪婪取走启发式算法虽然解决了该问题，且能高效地得到高精度的解，但其中也存在一定缺陷，如将所有配送中心的规模默认为相同．杨金顺等[9]综合考虑了公路网灾害应急救援点功能需求和选址要素等因素，建立以迅速反应、集合覆盖和灾害损失最小为目标的多目标选址优化模型，运用 Lingo软件进行优化求解．申瑞玲等[10]研究了网络中设施的混合需求(节点需求和通过流量需求)选址问题．以上求解方法都只停留在理论层面，模型虽日趋复杂，但缺乏可操作性，模型参数获取困难．陈明[11]研究了一种针对空间内连续分布需求的最大覆盖选址模型，以期望覆盖率最大为优化目标进行空间分析和模型仿真模拟运算．ERDEMIR等[12]针对移动基站位置选址中的最大用户覆盖问题，在只考虑节点需求覆盖率的前提下，建立了显式和隐式两个独立模型，并提出基于几何概念的启发式算法．然而，自助银行并不具有很强的拓扑网络结构，且其需求满足的非线性叠加更明显．ALDAJANI等[13]首次将卷积运算的思想引入自助银行选址问题，提出一种启发式算法对自助银行选址的卷积模型进行求解；ALHAFFA等[14]采用排序遗传算法求解，获得了较优的求解结果．以上模型均从理论上分析了卷积概念用于选址的可行性，但仍缺少实际案例的应用分析．

自助银行网点选址问题也是行为研究领域关注的焦点，行为研究偏向于从统计学角度对选址决策中的不同因素进行统计建模并作参数估计[15-16]．随着大数据技术的发展，近年来也涌现出很多基于数据挖掘的选址方法[17-19]．本文以满足客户需求为约束条件，以最小化自助银行布局费用为目标，以卷积函数模拟自助银行网点在满足需求上的叠加效应，模型采用启发式算法求解计算处在满足一定需求前提下，网点布局所需的最小成本值，及其对应的网点数量、自助机器数量和位置．以河北省冀州市工商银行选址优化问题为例，检验模型的有效性．本研究内容可应用于自助银行实际问题，对改善选址决策的科学性具有较大帮助．

1 基于卷积的最优选址模型

卷积的实质就是加权滑动平均，本研究旨在求得自助银行机器的最佳设置位置，以满足网格中每一点服务需求做出最大贡献．假设在某一网格点设置新机器，基于距离和服务供应求出当在该网格点设置机器时可为网格中的每一点做出的贡献值，所有贡献值相加即为在此点设置新机器的贡献值．此外，当在某一网格点上放置一台自助银行机器后，人们想知道这台机器对网点所有点的服务供应是怎样的．理论上这台机器对其所在网格点的服务供应最大，而对网格中其他点的服务供应随着与该点距离的增大而减弱．显然，该问题也与距离和供应相关．可见，卷积的思想完全适用于本研究中的优化问题．

本研究部分变量定义如下：T为进行自助银行网点布局所需的总成本；N为机器总数；sn(x,y)为第n个机器所在网点对(x,y)位置的服务供应；qn(x,y)为第n个机器被设置后(x,y)位置的累计服务供应；d(x,y)为(x,y)位置的服务需求；e(x,y)为(x,y)位置的服务供应与需求之差；Γ为进行优化的区域；b(x,y)为位于(x,y)位置的自助银行网点的机器数；D为需求矩阵；En为设置第n个机器后的差别矩阵；Sn为第n个机器的服务供应矩阵；φn为第n个机器所在网点的服务供应矩阵；A为随着距离每台机器的距离变化时服务供应的退化矩阵；Cn为设置第n台机器时的成本矩阵；R为成本的规模效应率矩阵；Ln为第n个机器的位置矩阵；Bn为设置完第n个机器后所有机器的位置矩阵；Pn为单位成本贡献值；Q(x,y)为累计服务供应； (un,vn)为第n个机器坐标；emin为En中的最小元素．

优化模型以总成本最小为目标，以满足客户特定服务需求为约束，即

minT

(1)

s.t.e(x,y)

q0(x,y)-d(x,y)}≥0 ∀x,y∈Γ

(2)

其中，sn(x,y)为在坐标(x,y)处第n个机器所在网点对坐标(x,y)的服务供应，对应全部位置的服务供应矩阵为Sn；q0(x,y)为未进行布局优化前，现有网点对于坐标(x,y)处的服务供应；d(x,y)为(x,y)点的服务需求水平；e(x,y)为需求与供应之差及需求和累计供应之差两者中的较大值．

对于sn(x,y)有两点需要说明：①sn(x,y)是来自第n个机器所在网点的服务供应，而非第n个自动取款机提供的服务供应．这是因为自助机一般不会以个体形式存在，而是由多个机器组成一个整体，以自助银行形式存在，自然也会以整体形式对外提供服务；② 任意点的服务需求应由能够提供最大服务供应的网点满足，其他网点的服务供应不计算在内，这样更符现实中客户的主观感受．

对于式(1)和式(2)的模型，可将优化区域划分为均匀网格，以网格点为单位进行研究．e(x,y)、sn(x,y)和d(x,y)在二维平面中离散为差别矩阵E、 供应矩阵φn和需求矩阵D， 则模型演变为

minT

(3)

Q0(x,y)-D(x,y)}≥0, ∀x,y∈Γ

(4)

令T=Ln°Cn， 则总成本T为T中所有元素之和

(5)

其中，“°”符号表示按元素相乘；Γ是二维的平面坐标系范围；Cn是由网格中每个点设置自助机器的成本组成的矩阵．若两台或两台以上的机器放置在同一位置，则建设、运营和管理等方面的成本会减少，并产生规模效应，所以，Cn并非恒定不变．机器被设置在网格点后，由于节省了重复建设费用(如装修费)，在该网格点增设机器的成本会降低；Ln为第n个机器的位置矩阵， (un,vn)为第n个机器的位置坐标，在此处的元素值为1，其他位置元素值为0．D(x,y)为现有网点的服务需求；Q0(x,y)表示未进行优化前现有网点的服务供应；φn(x,y)=b(x,y)°Sn(x,y)， 其中，Sn=A⊗Ln， 符号“⊗”表示二维卷积，b(x,y)是Bn中的元素，表示在(x,y)处的机器数量，则b(x,y)与Sn(x,y)的积就是第n个机器所在网点的服务供应φn；A为随着客户与机器的距离变化时服务供应的退化矩阵，A⊗Ln表示第n个机器能够为每个网格点上的顾客提供的服务供应．因此，模型进一步可写为

(6)

(7)

2 求解算法

为求解式(6)和式(7)，本研究提出一种简单的启发式求解方法， 其具体求解过程为：

1)设定退化矩阵A、 需求矩阵D和Bn、成本矩阵C和累计供应矩阵Q的初始值．本算法为这些矩阵的选择提供了高灵活性， 所以可直接根据优化区域的实际情况对A和D赋值．对于需设置初值的C和Q等，模型既可在现有自助银行的基础上进行优化，又可从0开始优化，所以初值可根据选择的优化起点灵活设定．

2)计算当在网格中每一点放置1台机器时，对该点和其他点的服务水平贡献值．因为本研究建立的优化模型以成本最低为目标，所以还要用贡献值除以成本值，以求得的单位成本的贡献值Pn作为选址指标，即

Pn=-(A⊗En-1)/C

(8)

其中， 假设A⊗En-1为在网格中每一点设置机器时对满足网格中所有点需求的贡献．在实际计算贡献值时，对于差别矩阵En-1中的每个点，首先，把矩阵A居中置于此点上，将其与En-1的重叠区域进行点乘，再把点乘值相加，除以此点上的成本值，然后将结果存储在Pn的对应点上．对En-1中的所有其他点重复上述卷积过程即可得矩阵Pn．

在本算法中，En-1中靠近之前设置的n-1个机器位置的元素值较大，远离之前设置的机器位置的元素值较小，则当A与Sn-1卷积后，在离之前放置机器最远的位置上卷积值最小，此位置将很有可能被选为下一个机器的位置．基于上述分析，可发现该算法倾向于在区域边界处设置机器，这样就可保证新机器被放置在服务水平差的位置．但若从自助机器利用率方面考虑，人们并不期望机器被设置到边界位置，所以为避免出现此情况，可在设定C和D时对其中的边界位置元素值进行调整．

3)计算出贡献值后，就可筛选出单位成本服务水平贡献值最大的点作为机器位置．第n个机器的位置通过式(9)得到，在本算法中即为当Pn取最大值时的位置参数．

(un,vn)=argmax{Pn}

(9)

4)放置每台机器后，就可根据式(6)得到位置矩阵Ln， 按照式(10)和式(11)更新成本矩阵和现有机器的位置矩阵．

Cn+1=Cn-r·Ln°Cn

(10)

Bn=Bn-1+Ln

(11)

其中，r为规模效应系数.

5)放置机器还会增加服务供应．新设置的机器对网格点的服务供应为

sn=A⊗Ln

(12)

Q归集所有机器的服务供应，随着新机器的设置，其元素值发生变化，即Qn在(x,y)处的值变为

Qn(x,y)=max{Qn-1(x,y),b(x,y)°Sn(x,y)}

x=1, 2, …,X,y=1, 2, …,Y.

(13)

其中，X为位置的横坐标的最大值；Y为位置纵坐标的最大值．

6)按照式(14)更新En， 并找到其中的最小元素emin． 通过最小元素的值判断当前设置的机器是否已满足服务需求．若emin<0， 表示需求未被完全满足，仍需设置新机器；反之，表示需求已满足，优化终止，并输出结果．

En=Qn-D,n=1, 2, …N

(14)

3 案例分析

3.1 模型应用

研究对象河北省冀州市主城区大体是一个3.5 km×2.8 km的长方形区域．该区域道路在地图平面可以近似看作水平和垂直分布，将该区域近似均匀地划分为7×7的网格，以网格点作为可选机器位置．

由于模型为退化矩阵A、 成本矩阵C和需求矩阵D的选择提供了很高的自由度，本研究根据冀州市实际情况构建合适的矩阵，以保证所得结果可靠．

A描述了当顾客远离自助银行时服务水平的变化情况，其选择结合冀州市主城区“五纵七横”交通网的特性，服务水平从中心网格点的100%开始向四周逐渐减少，并与距离中心网格点的距离成反比，为简化研究，本研究取欧式距离作为距离度量(在实际应用中可通过百度地图应用程序编程接口获取实际的两点最短路程距离)，将实际的距离分布缩减至5×5的矩阵，通过小规模问卷调查，采用 0.25的退化率，从中心1.0向边缘逐渐退化，即

C描述了研究区域中每个网格点上的成本．在为其元素赋值时，要考虑以下几点：① 每个网格点上的成本值由在此点上设置一台机器所需的运营、管理、维修等成本以及机器折旧因素构成；② 若2台或2台以上的机器放置在同一位置，会产生规模效应，所以，C随着机器的设置会不断更新，通过拜访工商银行自助银行网点建设相关负责人，了解到当地大致的建设成本．C1为在各网格点设置第1台机器时所需成本为成本矩阵初始值(单位：万元)．

基于自助机器利用率的考虑，人们并不希望机器被设置到边界位置，所以，在确定成本矩阵初始值时将边界位置的数值稍微提高，得

D描述了需求区域中每个需求点上的服务需求．为得到比较贴近现实的D， 需在地图上对优化区域进行简单的功能划分，从而实现对优化区域进行需求层次的划分，如图1．

图1 优化区域功能划分Fig.1 (Color online) Functional splits of optimized areas

在实际情形中，要得到需求矩阵必须做大量的基础调研工作，需求应当与人口密度、功能区属性等因素相关，如何获取需求矩阵并非本研究的重点. 工商银行工作人员根据主要街道人流量、交通及住宅区分布，提供了需求划分的主观经验依据，我们进一步根据不同功能区对自助银行的需求区别，设定了不同功能区域内的需求差异.与C类似，为尽量避免机器被设置到边界位置，可将边界位置的需求略微降低，得到如下需求矩阵

本模型可以灵活选择优化起点，既可基于现有机器进行优化，又可从0开始对需求区域进行布局．在本案例，考虑到优化区域现有的自助银行并未出现资源严重浪费的现象，仅在局部区域出现服务供应无法满足需求的情况，前者显然更符合实际．

对于位置矩阵的初始值B0， 实地考察后可得

到得B0后，采用Matlab软件计算得到现有机器的累计服务供应Q0， 其描述了优化开始前现有自助网点为每个点提供的服务供应．在计算每一点的B0时也应仅考虑能提供最大服务供应的网点．

差别矩阵初始值E0描述了在优化开始前服务供应与服务需求之差，即E0=Q0-D． 因此可得

E0=

规模效应率r的选取比较困难．r取值过大会导致已设置机器的点成本过低，这些点对应Pn中的元素值很大，使该点在附近需求已被满足的情况下仍被选为设置新机器的位置，造成资源浪费；反之，若r取值过小，则无法体现规模效应，各个机器位置的选取之间关系不大，则在求解结果中可能出现机器以个体形式出现的情况，不符合实际．因为设置自助银行并非经常性活动，无最新数据可借鉴，本研究根据银行提供的经验数据令r= 0.3．

对于C的边界值c和D的边界值d进行的调整，算例实验是证明其可行性的最好方法．假设机器数N=10台，不断调整c和d，得到对应的需求覆盖率f(网格中需求被满足的点占总点数的比例)，如图2．

图2 不同c和d对应的需求覆盖率Fig.2 (Color online) Demand coverages against parameter c and d

由图2可见，f值随着c值的增大而增大，但随着d值的增大呈减小趋势．当c达到一定值后，f不再随之增大；当d值非常大时，f值趋于平缓，说明此时c和d的值都已经过于极端．当边界需求过大时，不仅自身很难被满足，人们也不希望在边界设置机器，致边界位置最终无法被覆盖．

在其他条件不变的情况下，不断改变r， 发现其取值与优化成本的对应关系如图3．

由图3可见，随着r值的增大(图3中40r用于调整范围)，T大体呈下降趋势，且在图3(a)和图3(b)中都出现了转折点，原因是在r值不断变大的过程中，由于规模效应过于明显，导致即使在某点附近已经满足需求仍会将机器选在此处，机器总数增加，即成本增加．此结果提醒人们当规模效应非常明显时需考虑对结果进行调整，以避免资源浪费．

将模型用于该案例，并采用Matlab软件求解，得到设置8台机器后所有机器的位置矩阵为

则对应的总成本T=14.667．

图3 不同规模效应r对应的优化成本TFig.3 (Color online) Optimization cost against scale effect r

4 结果讨论

按照本研究提出的启发式算法，使用Matlab软件对冀州市工商银行自助银行的选址优化模型进行求解．结果表明，为满足服务需求，工商银行还需在冀州市主城区设立2个自助银行网点，其位置分别为B8和B0， 为满足实际需求，还需增设8台机器，分别以网点的形式设在坐标(2, 5)和(4, 6)处，网点内自助服务机器数分别为6和2台．

从自助机器的分布方面分析，由于规模效应的存在，自助机器一般不会以个体形式存在，而是以包含多个机器的自助银行形式存在．在本案例结果中，6台和2台机器分别以网点的形式被设置，符合实际情况，因此结果也是合理的．

通过计算需求满足率矩阵R=Q./D(其中，“./”表示数除)，通过分析R判断需求满足情况和资源利用情况．在所有网格点中，需求满足率在100%至120%的占56.25%，满足率在120%至150%的占40.63%，满足率高于150%的占3.12%．一方面，全部的需求都得到了满足(超过100%)；另一方面，只有3.12%的位置需求满足超过了150%，并不存在大范围提供过度供给的情况．因此，可认为自助银行布局既满足了服务需求，又在资源利用率方面实现了选址优化．

结 语

本研究提出一种自助银行选址优化方法．该方法可计算处在满足一定需求的前提下，网点布局所需的最小成本值及其对应的网点数量、自助机器数量及位置．案例分析表明，采用该方法得到的布局方案合理，可为优化布局提供可靠的决策依据．该方法降低了决策者主观经验判断对于自助银行规划布局的影响，使布局结果更加客观科学．本研究在建模时只考虑了对选址优化有影响的主要因素，未将次要因素，如同行竞争、网点内机器种类及交通情况等列入其中．下一步，我们将综合考虑各方面因素，以期得到更贴合实际的优化方案．

引文：马江山，李昱莹．基于卷积的自助银行选址分析[J]. 深圳大学学报理工版，2018，35(1)：92-98.

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