非线性时滞耦合异构Lur’e网络的拟同步

胡萌萌，丰建文，赵 毅，徐 晨

深圳大学数学与统计学院，广东深圳518060

近二十年来，复杂网络同步控制由于其理论挑战性和应用广泛性受到了不同学科研究者的极大关注，为科学研究中的一个热点问题．研究讨论了各种不同类型网络的多种同步模式，如完全同步[1]、簇同步[2]、指数同步[3]及有限时间同步[4-5]等．

在现有关于复杂网络同步问题的研究中，大部分涉及的是恒同网络，即网络中的所有节点都有相同的动力学行为．然而，由非恒同节点构成的网络，在自然界和工程领域普遍存在．例如，因特网中的节点一般是不同的；社交网络中的每个个体也存在差异，这就可能产生网络中的参数不匹配现象．一般来说，由参数不匹配的节点所构成的异构网络不能达到完全同步，拟同步则为异构网络的同步研究提供了全新思路．拟同步意味着各个节点的状态和目标节点状态之间存在一个有界误差．随着对网络同步问题的深入研究，异构网络的拟同步问题引起了越来越多研究关注，LIU等[6]通过反馈控制方法研究存在参数不匹配和随机扰动的异构复杂网络的拟同步；HE等[7]利用一个广义的Halanay不等式和矩阵测度得到了带有参数不匹配的时滞耦合系统的延迟拟同步判据；HE等[8]还基于分布式脉冲控制讨论了带有参数不匹配的异构复杂网络的拟同步，并对误差进行估计优化．WANG等[9]研究了由非恒同节点构成的非线性耦合网络的簇同步问题．以上研究忽略了节点间信息交换时的时滞，而时滞在现实中是不可避免的．另外，Lur’e系统是一类非常典型的非线性系统，如常见的蔡氏电路和Cohen-Grossberg神经网络均具有Lur’e系统的形式．近期出现了一些对Lur’e网络系统的同步研究，如SHI等[10]研究了带有数据采样反馈控制的混沌Lur’e系统的主从同步；TANG等[11]分析了由非连续Lur’e系统构成的非线性耦合复杂网络的有限时间簇同步．但对于有非线性时变时滞耦合的异构Lur’e网络的拟同步问题尚未涉及．

另一方面，控制方式在实现网络同步中起着重要作用，各种控制策略已成功用于网络同步研究中．按控制时间可分为连续状态反馈控制[12]和非连续状态反馈控制，后者包括脉冲控制[13]、样本采样控制[14]及事件激发控制[15]等．非连续牵制控制由于其低成本高效率的特点，在网络同步研究中受到青睐．特别是周期间歇牵制控制策略受到了关注，如LI等[16]基于周期间歇牵制控制策略实现了分数阶复杂动力网络的同步．然而，周期间歇牵制控制策略在现实中的应用并不合理，例如智能电网中风能发电呈现出非周期．因此，将非周期间歇牵制控制策略用于网络同步研究中具有现实意义．LIU等[17]成功地将非周期间歇牵制控制用于一类复杂网络的同步问题中；2016年LIU等[18]进一步基于非周期间歇牵制控制方法研究了带有参数不匹配的复杂网络的拟同步问题．

受到以上相关研究的启发，本研究将考虑有非线性时变时滞耦合，且带有参数不匹配异构Lur’e网络的拟同步问题．基于非周期间歇牵制控制策略，通过构造合适的Lyapunov函数，经过严格理论分析得到实现该类网络拟同步的若干充分条件．并给出相应数值模拟论证所得理论结果有效．

1 模型描述与准备工作

首先，考虑一般Lur’e系统

(1)

其中，s(t)=(s1(t),s2(t),…,sn(t))T∈Rn是t时刻的状态向量；A∈Rn×n、B∈Rn×m及C∈Rm×n是常数矩阵；f(Cs(t))=(f1(cT1s(t)),…,fm(cTms(t)))T∈Rm为系统的非线性向量值函数，满足f(0)=0， 且cTl表示矩阵C的第l行，f(·)是非线性函数，l=1,…,m.

本文将在非周期间歇牵制控制下，研究有时变时滞的非线性耦合异构Lur’e网络的拟同步．不失一般性，只对网络中的第1个节点实施非周期间歇控制，这样受控制的网络模型可以描述为

以下给出本文用到的定义、引理及假设．

假设1[17]存在两个正数0<θ<ω，那么，对于k=0,1,2,…， 有

注1假设1表明每个控制区间的长度不会小于θ， 而休息区间的长度不会大于(ω-θ)．

假设2对于Lur’e网络中的非线性向量值函数满足f(·)以下扇形条件：

(3)

此处，r>0是a=berτ+r的唯一解.

(4)

引理3[20]若定义在[t0-τ,+∞)上的非负连续函数y(t)， 满足对于k=0,1,2,…， 有

y(t)≤yτ(tk)e-r(t-tk)+α,tk≤t≤sk,

y(t)≤(yτ(sk)+β)eξ(t-sk)-β,sk

若假设1成立，记ρ=(ρ1-ρ2)>0，其中，ρ1=r(θ-τ)，ρ2=ξ(ω-θ)， 则有

(5)

对于t≥0时成立，其中，v=(α+β)eρ2-β．

2 非线性时滞耦合异构Lur’e网络的拟同步

为叙述方便，用ΔAi=Ai-A, ΔBi=Bi-B表示参数不匹配矩阵，此外还引入下述符号：

ηi(t)=f(Cei(t))=f(Cxi(t))-f(Cs(t))，

ηi(t)=(ηi1,ηi2,…,ηim)T，

l=1,2,…,m，

η(t)=(ηT1(t),ηT2(t),…,ηTN(t))T，

ΔA=(ΔAT1,ΔAT2,…,ΔATN)T，

ΔB=(ΔBT1,ΔBT2,…,ΔBTN)T，

e(t)=(eT1(t),eT2(t),…,eTN(t))T，

M(t)=(mT1(t),mT2(t),…,mTN(t))T， 这里

mi(t)=ΔAis(t)+ΔBif(Cs(t)),i=1,2,…,N，

h(ei(t-τ(t)))=h(xi(t-τ(t)))-

h(s(t-τ(t))),

h(ei(t-τ(t)))= (h1(ei(t-τ(t))),…,

hn(ei(t-τ(t))))T，

H(e(t-τ(t)))= (hT(e1(t-τ(t))),…,

Δ=diag(δ1,δ2,…,δm)，

T=diag(τ1,τ2,…,τm)．

则由系统(1)和(2)可得相应的误差系统为

则上述误差系统又可写为

(6)

ⅰ.Π=

ⅳ. (γ2-(μ3-μ1))I+2c1(L⊗Γ)+c2γ1(GGT⊗ΓΓT)+2α1(IN⊗Γ)≤0;

ⅴ.ρ=ρ1-ρ2=r(θ-τ)-(μ3-μ1+μ2)(ω-θ)>0,r是方程r-μ1+μ2eγτ=0的唯一正解.

【证】定义以下Lyapunov函数

V(t)沿着误差系统(6)求导，

当t∈[tk,sk]时，

mi(t)-c1dΓe1(t)]=

V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t)+V5(t)

(7)

(8)

由于τl≥0,l=1,2,…,m, 根据式(8)可得

那么，ηTi(Tηi-TΔCei(t))≤0，i=1,2,…,N,

于是得

2ηT(t)(IN⊗T)η(t)+

2ηT(t)(IN⊗TΔC)e(t)-

2α1eT(t)(IN⊗Γ)e(t)+

2α1eT(t)(IN⊗Γ)e(t),

记y(t)=(eT(t),ηT(t))T， 注意到定理1中条件ⅰ, 有

V1(t)≤yT(t)Πy(t)+2α1eT(t)(IN⊗Γ)e(t)≤

2α1eT(t)(IN⊗Γ)e(t)

(9)

2c1eT(t)(L⊗Γ)e(t)

(10)

根据Cauchy不等式和假设3可得

2c2eT(t)(G⊗Γ)H(e(t-τ(t)))≤

c2γ1eT(t)(GGT⊗ΓΓT)e(t)+

(11)

(12)

最后

-2c1eT(t)(D⊗Γ)e(t)

(13)

将式(9)至式(13)代入式(7)并结合定理1条件ⅱ和ⅲ，可得

μ2)eT(t-τ(t))e(t-τ(t))+

-μ1eT(t)e(t)+μ2eT(t-τ)e(t-τ)+

这样，根据引理1可得到

(14)

当t∈(sk,tk+1)时，用类似方法并注意到定理1中条件ⅰ、ⅲ及ⅳ有

eT(t)[2α1(IN⊗Γ)+c2γ1(GGT⊗ΓΓT)+

γ2I-(μ3-μ1)I+2c1(L⊗Γ)]e(t)+

(μ3-μ1)eT(t)e(t)+μ2eT(t-τ)e1(t-τ)+

由引理2，可得

(15)

最后，由引理3，以及式(14)和式(15)可得

V(t)≤Vτ(0)eρe-(ρ/ω)t+ε1

(16)

其中，α、β、ν、ε1和r如定理1中所定义，

(φi(κ)-s(0)).

则由式(16)可得

故对任意小正数ε2， 存在正数T， 使得对任意t≥T， 有

由定义1可知，系统(1)和系统(2)取得拟同步，证毕.

推论1若假设1至假设3成立，且存在正数γ1，μ3>μ2>μ1，a1和矩阵Q=(qij)n×n， 满足条件

ⅳ. -(μ3-μ1)I+2c1(L⊗Γ)+c2γ1(GGT⊗ΓΓT)+2α1(IN⊗Γ)≤0；

3 数值模拟

考虑由6个节点构成的异构Lur’e网络，每个节点的维数为3，模型由下面微分方程给出

内部耦合矩阵Γ=diag(3, 3, 3)；

选择控制增益d=6，τ=0.01． 考虑非周期间歇牵制控制，这里[tk,sk]定义为

[0,3]∪[3.010,6.105]∪[6.110,9.125]∪[9.195,12.195]∪[12.2,15.2]∪[15.250,18.305]∪[18.35,21.35]∪[21.405,24.425]∪[24.505,27.525]∪…

图1 节点状态随时间的演变Fig.1 Time response of the state of network node

图2 目标节点状态随时间的演变Fig.2 Time response of the state of target node

图3 同步误差范数随时间的演变Fig.3 Time response of the modulus of error variables

结 语

本研究基于非周期间歇牵制控制策略，讨论带有参数不匹配的非线性耦合时变时滞的异构Lur’e网络的拟同步问题．通过设计合理的Lyapunov函数，利用线性矩阵不等式以及严格的理论分析，实现了Lur’e网络的拟同步．最后，通过数值模拟验证所得结果的有效性．

引文：胡萌萌，丰建文，赵 毅，等．非线性时滞耦合异构Lur’e网络的拟同步[J]. 深圳大学学报理工版，2018，35(1)：85-91.

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