Couette-Taylor流系统的低模分析及全局稳定性与同步的研究*

阚猛 王贺元 段文元

(辽宁工业大学理学院, 锦州 121001)

引言

1963年洛伦兹在著名论文“决定论非周期流”中讨论了天气预报的困难和大气湍流现象,给出了三个变量的自治方程,即著名的Lorenz系统.这是在耗散系统中,由一个确定的方程能导出混沌解的第一个实例,从而揭开了对混沌现象深入研究的序幕.半个世纪以来,许多物理学家、数学家对混沌的理论和应用做出了重要的贡献,使人们对混沌现象的自然规律及其在自然科学与社会科学中表现有了一个广泛而深刻的认识[1-5].

同轴圆筒间旋转流动的Couette-Taylor流问题是近一个世纪以来人们普遍关注的热点问题[6-12],Couette-Taylor流系统在柱坐标下其形式为：

(1)

边界条件为：

其中ur,uφ,uz为速度分量.

由于它在研究流动的失稳、从分岔到混沌、直至发展为湍流过程中流动形态的可观测性、以及它在湍流研究中的基础性地位及其在流体机械、石油化工等领域的广泛应用,国际上将它列为非线性科学的范例之一,根据两圆筒的半径比、内外圆筒旋转方式、旋转角速度等的不同,这种流动会产生多种复杂的流动形态,如Couette流动、Taylor涡流、螺旋Taylor漩涡、波状Taylor涡流、波状螺旋漩涡、调制波状螺旋漩涡、湍状Taylor涡流等二十余种,存在着多种演化到湍流的方式,提供了从层流到湍流过渡非常好的例子.该问题所包含的这些复杂多变的流动形态引发了众多研究者开展相关的理论分析、数值计算和实验观测研究.

由于圆筒间Couette-Taylor流的全局吸引子是结构非常复杂和难于计算的,而且湍流的发生通常表现为少数模态的失稳,所以我们采用简化模态的低模分析方法进行数值仿真.低模分析方法理论基础和依据是惯性流形和近似惯性流形理论(它们被认为是一种包含全局吸引子,且指数吸引所有轨道的低维光滑流形),也就是无穷维动力系统复杂的动力学行为通常源于简单的起源,并可由简单方程来分辨.这种简化模态的低模分析方法不但可以克服Couette-Taylor 流问题性质不好把握的困难,而且所得到的类Lorenz方程组将包含非常丰富而有意义的内容,这对探讨Navier-Stokes方程的分歧、湍流等非线性现象是十分有意义的.

混沌系统的定性研究中,最终有界性的研究起着一个非常重要的作用.如果一个混沌系统在相空间内具有全局吸引紧集,则平衡位置、周期解、概周期解,混沌吸引子将不可能在全局吸引集之外.俄罗斯学者Leonov通过长期的研究,分别用德文、俄文发表了很多关于Lorenz混沌系统方面的论著,他得到了Lorenz系统全集吸引集的一个圆柱形估计式和一个球形估计式,这是混沌系统中全局最终有界的第一个结果.由于它化全局为局部、化无穷为有限的功能,在很多方面都有重要的应用.最近廖晓昕在Leonov的基础上给出了关于Lorenz系统全局吸引集合正向不变集的改进了的新结果[13,14],较大地简化了Leonov所得的两个著名估计式的复杂证明且比Leonov的结果更精确.

自从1990年Pecora和Carroll提出混沌同步的思想以来,混沌同步研究一直是非线性科学领域备受关注的热点问题之一.研究表明,混沌同步在物理化学、生物、力学、脑科学、电子学、信息科学、保密通讯等领域均具有十分诱人的应用前景和巨大的市场潜在价值,而混沌同步在混沌保密通讯中的应用尤其令人瞩目.

本文研究了选取简正模后得到的三模类Lorenz型方程动力学行为与仿真问题,解释了Couette-Taylor流实验中观察到的部分涡流的演化过程.在Lorenz系统全局吸引集和正向不变集的基础上,给出了Couette-Taylor流的三模系统的全局吸引集和正向不变集,最后,对于该三模系统,设计了线性反馈控制律,实现全局指数同步,并利用计算机仿真验证了有效性.

1 Couette-Taylor流低模分析与数值仿真

如果内圆筒旋转,外圆筒静止,在低雷诺数的情况下,基本Couette流是唯一的,就是说当旋转角速度很小时,流体绕圆筒的轴线作水平圆周运动,这种流动叫做Couette流动.当ω到达某个临界值ω1c时,Couette流动逐渐失去稳定性,出现新的定常流动,该流动呈轴对称形式,沿轴线方向规则地分布着旋涡,相邻的旋涡是反向的,我们把它叫做Taylor涡流,即在通过轴的子午面内,沿Z轴方向呈现周期性旋涡,并且关于Z轴成镜面反射对称.Taylor旋涡是环形涡,它仍然是定常流动,而且是稳定的.如果ω继续增大,越过第二临界值ω2c时,Taylor旋涡转化成Taylor行进波,这是一种沿旋转轴均匀运动的波,破坏了对时间和旋转轴的不变性,但仍是一种周期性运动,并且在一个适当的旋转标架里,流动看来还是定常的,这样的周期运动称为旋转波.当ω继续增大时,第三次转变发生,流动变成拟周期,它的次频率作为调制旋转波,再经过若干阶段,进入湍流.简化模型通常是处理无穷维问题的常用方法,为获得无穷维系统Couette-Taylor流问题的动力学行为,对其进行低维分析是非常有意义的,而且经典的湍流理论认为湍流是一种具有有限个自由度的运动,这在Navier-Stokes方程全局吸引子分数维的有限性方面已获得强有力的支持,因此采用低模分析方法来讨论Couette-Taylor流问题是切实可行的.

文献[6]利用同轴圆筒间隙区域Stokes算子的特征函数作为基函数对周期性边界条件Navier-Stokes方程进行傅里叶展开,截取傅里叶级数的前三项,得到下列混沌系统：

(2)

这里x,y,z为状态变量,它们均为时间t的函数,σ,a,b,c都是正的参数,r为雷诺数.

其定点(x0,y0,z0)满足下列条件：

当acr<σ时,系统只有一个定态O(0,0,0),此定态表示系统流体处于绕中心轴旋转的层流状态,即Couette流动(图1).

图1 Couette-Taylor流Fig.1 Couette-Taylor flow

当acr≥σ时,有以下三个定态：

由于在P+,P-处x,y,z变量之值都不为零,因此定态P+,P-表示已出现稳定的Taylor涡流的状态(图2).当这种流动失稳时将产生Taylor行进波(图3).

图2 Taylor涡流Fig.2 Taylorvortex图3 Taylor行进波Fig.3 Travelingwave

如表1给出了当r连续变化时系统(2)定态的性质及对应的Couette-Taylor流实际流动.

表1 当r连续变化时系统(2)的定态的性质及对应的Couette-Taylor流实际流动Table 1 Property of the equilibrium points in system (2) and corresponding actual flow of Couette-Taylor flow with the increasing of r

接下来对Couette-Taylor流三模系统混沌行为进行数值仿真：

取σ=9.35,a=0.758,b=1.45,c=8.4,r=60,通过计算机仿真,系统(2)混沌吸引子,Lyapunov指数谱,庞加莱截面,功率谱,分别如图(4)(5)(6)(7)所示,说明该系统存在混沌现象.

图4 系统(2)混沌吸引子Fig.4 Chaotic attractors of system (2)

2 Couette-Taylor流三模系统的全局稳定性分析

本节给出该混沌系统(2)的全局指数吸引集和正向不变集的估计式.

首先我们在这里给出一些相关定义.令X=(x,y,z),假设X(t)=X(t,t0,X0)是混沌系统(2)的解.

图5 系统(2)最大Lyapunov指数谱Fig.5 Maximum Lyapunov spectrum of system (2)

图6 系统(2)的庞加莱截面Fig.6 Poincaré section of system (2)

图7系统(2)的功率谱Fig.7 Power spectrum of system (2)

V(X)=mx2+y2+(z-mc-ar)2

(3)

(4)

证明 构造一个广义正定的径向无界Lyapunov函数：

V(X)=mx2+y2+(z-mc-ar)2

(5)

计算沿着系统(2)的正半轨线关于时间的导数,有：

=2mx(-σx+cy)+2y(-xz+arx-y)+

2(z-mc-ar)(xy-bz)

=-2mσx2-2y2-2bz2+2(ar+mc)bz

=-V+(1-2σ)mx2-y2+(1-2b)z2+

2(ar+mc)(b-1)z+(mc+ar)2

=-V+F(X)

(6)

定义函数：

F(X)=(1-2σ)mx2-y2+(1-2b)z2+

2(ar+mc)(b-1)z+(mc+ar)2

计算F(x,y,z)关于(x,y,z)的极Lagrange极值.因为F(X)为二次函数,其局部极大值为全局极大值,因此计算F(x,y,z)极大值F(X0).因此,令:

因此可以给出系统(2)的如下一些估计式：

1) 当m=0时,我们便得到了系统(2)的圆柱形估计式：

2) 当m=1时,我们便得到了系统(2)的球形公式：

3) 当m=1/c时,我们便得到系统(2)的一个新的椭球形公式：

4) 当m=ar/c时,我们便得到系统(2)的另一个椭球形公式：

下面利用集合论中交集的思想,取前几种估计式的交集,以期望获得更佳的估计结果.

定理2设a>0,b>0和r≥1,则下列圆柱体

(7)

为系统(2)的一个全局吸引集和正向不变集,其中ε>1为任意正数.

V=y2+(z-ar)2

(8)

沿系统(2)的轨线有：

≤-2y2-bz2+2barz

=-2y2+b(z-ar)2+b(ar)2

≤by2-b(z-ar)2+b(ar)2<0

(9)

将y的最终界代入系统(2)的第一个方程且用常数变易法估计x(t),有：

故有：

(10)

(11)

=-V-2y2+(1-2b)z2+ar(2b-2)z+(ar)2

定义函数：

3 Couette-Taylor流三模系统的全局指数同步

所谓混沌同步,指的是对于不同初始条件出发的两个混沌系统,随着时间的推移,它们的轨线逐渐一致[15].Pecora和Carroll指出,当混沌系统能分解成两个子系统,而且响应系统中所有的条件Lyapunov指数均小于零时,在驱动系统和响应系统中会有混沌同步产生[16].

定义2两个非线性动力系统：

(12)

Y=F(t,Y)+μ(X,Y)

(13)

这里X,Y∈Rn,F是n维的非线性函数；μ是n维的控制输入函数,我们称系统(12)是驱动系统,系统(13)是响应系统.

首先设驱动系统为：

(14)

相应的响应系统可表示为：

(15)

这里u1,u2,u3为要设计的控制函数.

令eT=(ex,ey,ez),ex=x2-x1,ey=y2-y1,ez=z2-z1,则式(15)减去(14)得到的误差动力系统可表示为：

(16)

定义3如果存在常数α>0,对任意的t>t0都有V(t)≤V(t0)e-α(t-t0),系统的原点是全局指数稳定的.

如下结论利用线性反馈同步证明系统全局指数同步.

定理3对于误差系统(16),当控制器设计如下：

u1=-kex-y2ez,u2=-cex-arex+z2ex,u3=0.

适当选择k>0,使得矩阵

正定,则误差系统(16)的零解全局指数稳定,从而驱动系统(14)和响应系统(15)全局指数同步.

证明 构造一个正定的径向无界的Lyapunov函数.

V=ex2+ey2+ez2

计算V沿着式(16)正半轨线对时间的导数有：

=2ex(-σex+cey-kex-y2ez)+

2ey(arex-ey-z2ex-cex-arex+z2ex)+

2ez(-bez+y2ex)

=-eTPe

(17)

其中,

为了使误差系统(16)的零解是全局指数稳定的,保证矩阵P是正定的即可.

当且仅当下列不等式成立：

2(σ+k)>0

从上面不等式,推得k满足k>-σ.

因此有：

t≥t0

当t→+∞时,V(X(t))→0,从而误差系统(16)的零解全局指数稳定,因此驱动系统(14)和响应系统(15)全局指数同步.

下面利用四阶Runge-Kutta算法来验证上面提出的方法的有效性.

在数值仿真中,选取步长为0.001,驱动系统(14)和响应系统(15)的初始条件分别为:

(x1(0),z1(0),y1(0))=(17,14,89)

(x2(0),z2(0),y2(0))=(-25,28,-37)

因此误差系统的初始条件为(ex(0),ey(0),ez(0))=(-42,14,-126),且定义同步误差为:

对于定理3中的控制器,选取控制参数k=1为系统(16)的控制率,那么响应系统(15)和驱动系统(14)的同步如图8所示,同步误差e(t)随时间t的变化如图9所示.从仿真结果看出,两个系统很快达到同步,误差很快趋于0.

图8 驱动系统轨线(红线)和响应系统(蓝线)轨线随着时间t的变化Fig.8 Time history of state trajectories for drive system (red line) and response system (blue line)

图9 误差随时间t变化Fig.9 Time history of error e(t)

4 结论

本文研究Couette-Taylor流三模类Lorenz方程动力学行为与仿真问题,解释了Couette-Taylor流实验中观察到的部分涡流的演化过程.给出了Couette-Taylor流的三模系统的全局吸引集和正向不变集,实现了全局指数同步.所得结果对Couette-Taylor流等混沌系统的实际应用有一定意义.

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