大范围运动柔性机械臂斜碰撞动力学分析*

段玥晨 章定国 朱健

(1.郑州大学机械工程学院, 郑州 450001) (2.南京理工大学理学院, 南京 210094) (3.太原太航科技有限公司, 太原 030006)

引言

斜碰撞动力学问题由于同时考虑了法向碰撞作用和切向摩擦作用,因此变得较难处理,而对多体系统斜碰撞动力学的研究则需解决大范围运动、小变形运动与斜碰撞作用的耦合问题,同时由于其具有的非光滑、不连续等特性,因而成为多体系统动力学领域当前的研究难点和热点之一[1-4].

合理地建立法向和切向碰撞模型,正确地处理切向黏滞(stick)、滑移(slip)状态,准确地求解含碰撞、摩擦的非光滑问题,是解决柔性多体系统斜碰撞动力学问题的关键.国内外学者对斜碰撞动力学模型进行了多方面的研究,刘才山等[5]分别基于Hertz接触理论和线性切向接触刚度建立法向和切向碰撞模型,Payr等[6]采用Coulomb摩擦模型研究了斜碰撞问题并与其它碰撞模型做了对比,Flickinger等[7]用Coulomb摩擦定律和互补关系研究了多体系统多点斜碰撞问题,Yao等[8]引入能量恢复系数研究了多刚体系统含摩擦的碰撞问题,李春洋等[9]研究了同步直齿锥齿轮锁定后间隙的非光滑动力学行为.Han等[10]采用步进冲量法分析了两自由度斜碰撞振动系统在碰撞前后的状态,Qi等[11]建立了多体系统含摩擦铰间隙的递推动力学方程.

本文针对作大范围运动柔性机械臂的斜碰撞动力学问题,首先基于柔性多体系统刚柔耦合动力学建模理论对柔性机械臂系统进行连续动力学建模,并选取连续接触力法作为法向碰撞模型,选取一种修正Coulomb摩擦模型作为切向碰撞模型,推导出系统的斜碰撞动力学方程,并给出柔性机械臂斜碰撞动力学仿真算例与分析.

1 连续动力学建模

本文研究的作大范围运动柔性机械臂是由n个转动铰和n个柔性杆件组成的空间多杆链式柔性多体系统,如图1所示.设杆件i的长度为Li,弹性模量为Ei,剪切模量为Gi,截面惯性矩分别为Ixi、Iyi、Izi,横截面积为Ai,体密度为ρi.柔性杆件均看作细长的Euler-Bernoulli梁,材料线弹性、各向同性.鉴于传统动力学建模方法的局限性,本文将全面考虑大范围刚体运动和柔性小变形运动的相互作用,建立系统的刚柔耦合连续动力学模型.

用惯性参照系O-XYZ来描述系统的大范围刚体运动,用各杆件上的浮动参照系来描述小变形运动.在杆件i浮动参照系下,初始坐标为(η,0,0)的点在变形后的位置矢量ihi的齐次坐标形式为[12]：

图1 柔性机械臂Fig. 1 Flexible manipulator

(1)

(2)

hi=Wi·ihi

(3)

(4)

根据式(3)～(4),可以求出系统上各点的位移与速度,进而可以得到系统的动能T和势能V.

(5)

(6)

(7)

式中Jxi是杆件i绕其中性轴的单位长度转动惯量;θxi是杆件i的第j阶轴向扭转变形角位移模态.

(8)

(9)

式中θxi、θyi、θzi分别为杆件i上位置η处相对于浮动系三个坐标轴的变形转角;xi是杆件i上位置η处沿轴向的线变形位移.

(10)

式中g为惯性系下重力加速度矢量列阵.

利用第二类Lagrange方程：

(11)

将非保守力即转动铰处驱动力矩对应的广义力Fτ代入,经过推导,可以得到系统的刚柔耦合连续动力学方程形式为[14]：

(12)

q= [θ1,δ11,…,δ1N1,…,θi,δi1,…,δiNi,…,

θn,δn1,…,δnNn]T

(13)

式(12)～(13)中,q为系统广义坐标列阵；θi为铰i的相对转角,代表了杆件之间的大范围相对运动；M为广义质量矩阵,Q为广义力列阵,二者的子块形式如式(14)～(15)所示.

(14)

Q= [Qθ1,Q11…Q1N1,…,Qθi,Qi1…QiNi,…,

Qθn,Qn1,…QnNn]T

(15)

2 碰撞模型

为得到柔性机械臂系统斜碰撞动力学方程,需在连续动力学方程基础上添加斜碰撞力学模型.本文研究的斜碰撞问题实际是将碰撞过程分为法向碰撞与切向碰撞两部分,因此碰撞模型由法向碰撞模型和切向碰撞模型组成.需要说明的是,所谓的“正碰撞”是指两碰撞体上碰撞点的相对速度完全在碰撞法线方向上,而在切线方向上相对速度投影为0.实际情况中由于大范围运动、小变形运动与碰撞作用的耦合,该条件很难精确满足,因此实际发生的碰撞大部分都属于斜碰撞.

2.1 法向碰撞模型

法向碰撞模型选取基于连续接触力法的非线性弹簧阻尼模型[15],该模型用非线性弹性接触力和阻尼力来分别反映法向碰撞过程中的弹性恢复和能量损失.

结合Hertz接触理论和非线性阻尼项,本文选取的非线性弹簧阻尼模型中,法向碰撞力Fn的表达式为：

Fn=Fk+Fd

(16)

式中Fk为法向弹性恢复力;Fd为法向非线性阻尼力.

弹性恢复力Fk基于Hertz接触理论确定：

(17)

式中δ为碰撞体之间的嵌入量;δ同时也用来进行接触、分离判定；K为接触刚度,与接触体的几何、材料特性相关,若两个碰撞体为轴线互相垂直的圆柱体,接触刚度K的表达式为：

(18)

(19)

(20)

式(18)～(20)中,Ri、Ei、μi(i=1, 2)分别为两接触面的曲率半径、弹性模量、泊松比.

非线性阻尼力Fd的表达式取为：

(21)

2.2 切向碰撞模型

切向碰撞模型选取一种修正Coulomb摩擦模型[16],该模型采用非线性函数对Coulomb摩擦模型进行修正,无需进行黏滞、滑移状态的切换,且可以用一个统一的公式对整个过程的切向摩擦力进行描述,避免了Coulomb摩擦力与相对切向加速度的耦合给数值计算带来的困难.

基于该修正Coulomb摩擦模型,切向碰撞力即摩擦力Ft的表达式为：

(22)

式中vr1、α为正的常数;μ为动滑动摩擦因数,Fn为法向接触力,vr为碰撞点切向相对速度,sgn( )为符号函数.

传统的Coulomb摩擦模型根据相对切向速度和相对切向加速度来判定黏滞、滑移状态,并用分段函数来表示两个阶段的摩擦力.采用修正Coulomb摩擦模型后,可以用一个统一的方程式(22)来表示摩擦力,简化了过程判定和数值计算的难度.两种摩擦模型的摩擦力与切向相对速度的关系如图2所示.

图2 摩擦模型对比Fig. 2 Comparison of friction models

3 斜碰撞动力学方程

柔性机械臂斜碰撞动力学方程是在连续动力学方程基础上添加碰撞广义力,同时方程的维数保持不变,系统的广义坐标和广义质量矩阵亦不变.法向碰撞力和切向摩擦力对应的广义力通过势能法来求取,在此引入碰撞力势能的概念.设柔性机械臂的杆件k上一点P与外界发生弹性斜碰撞,杆件k浮动系下碰撞点P位置矢量列阵为khk,从惯性系到杆件k浮动系的齐次变换矩阵为Wk,惯性系下碰撞法向、切向单位矢量列阵分别为nn、nt,则惯性系下法向、切向碰撞力势能分别为：

(23)

系统的斜碰撞动力学方程为：

(24)

式中Q为无碰撞时的广义力列阵；Qn和Qt分别为法向碰撞力和切向摩擦力对应的广义力列阵,二者的形式分别为：

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

斜碰撞动力学方程(24)是在连续动力学方程(12)的基础上添加碰撞广义力项,在数值计算上也较容易实现不同动力学状态的切换.

在系统的全局动力学求解过程中,需实时判定两碰撞体上的碰撞点在碰撞法向上的相对距离：若法向相对距离小于等于0则认为处于碰撞过程,使用斜碰撞动力学方程(24)进行求解；否则认为两碰撞体未接触或者已分离,令Fn、Ft均为0,使用连续动力学方程(12)进行求解.

4 仿真算例

为验证本文的动力学方法,选取一个单杆柔性机械臂进行含斜碰撞过程的全局动力学仿真,如图3所示.

图3 仿真算例Fig. 3 Simulation example

其中,L=1.0m,ρ=2700kg/m3,EA=2.17×107N,EIz=541.27N·m2,K=5.96×109N·m-3/2.初始时刻系统由θ=60°位置无初速自由下落,杆件末端P与刚性面发生碰撞,分别取碰撞面倾角α为0°,30°和45°,进行不同方向碰撞的对比.

图4 碰撞点竖直方向坐标Fig. 4 Vertical position of impact point

图4为碰撞点竖直方向即Y方向坐标的时程图,反映了系统的大范围刚体运动.由图可见,三次不同碰撞面倾角仿真的第一次宏观碰撞均发生在0.47s左右,碰撞后由于碰撞能量损失和弹性变形相对碰前更大导致竖向坐标变化曲线明显抖动且峰值小于初始值；碰撞面倾角α=0°时系统回弹高度最大,α=45°时回弹高度最小因此也更快地发生了第二次宏观碰撞.这点也可在图5系统的机械能变化中看出,无碰撞过程中由于没有非保守力做功,因此三次仿真的系统机械能均保持守恒；因为考虑了法向阻尼力和切向摩擦力,每次碰撞过程导致了机械能的损失,而α=0°时的碰撞能量损失最小,α=45°时最大,这也和图4的竖向坐标变化规律相吻合.

图5 系统机械能变化Fig. 5 Development of system mechanical energy

图6为杆件末端即碰撞点横向变形图,碰撞过程杆件的横向弹性变形变化剧烈且达到最大幅值,碰后横向变形以明显大于碰前的幅度做近似周期性变化,这说明碰撞效应、大范围运动和小变形运动存在耦合作用,而α=45°时的变形峰值相对稍大,α=0°时相对稍小.图7为α=45°仿真时第一次宏观碰撞过程中法向碰撞力Fn与切向摩擦力Ft的变化,Ft与Fn同步变化,二者峰值之比约为动滑动摩擦因数μ；由于法向碰撞为单面约束,法向碰撞力只能为压力,而切向摩擦力方向可沿切向正向或负向并且和切向相对速度方向相反.

图8为第一次宏观碰撞过程中不同碰撞面倾角的法向碰撞力Fn对比,由图可见,由于弹性变形的存在导致碰撞点之间在短时间内频繁地接触分离,因此一次宏观碰撞过程包含多个次碰撞过程；该次宏观碰撞过程中的法向碰撞力峰值在α=0°时最大,约为8100N,其次是α=30°时,而α=45°时最小.图9为第一次宏观碰撞过程中不同碰撞面倾角的切向碰撞力即摩擦力Ft的对比,由于碰撞点切向相对速度方向的改变,Ft表现为有正有负,该次宏观碰撞过程中的切向碰撞力峰值在α=30°时最大,约为1150N.

图7 法向与切向碰撞力Fig. 7 Normal and tangential impact force

图8 法向碰撞力对比Fig. 8 Comparison of normal impact forces

图9 切向碰撞力对比Fig. 9 Comparison of tangential impact forces

5 结论

本文针对作大范围运动柔性机械臂系统,对其斜碰撞动力学问题进行了研究,在柔性多体系统刚柔耦合连续动力学建模基础上,建立了斜碰撞过程的法向和切向碰撞力模型,对切向黏滞、滑移状态进行了统一,推导出了斜碰撞动力学方程.斜碰撞动力学建模工作全面考虑了大范围刚体运动、弹性小变形运动与碰撞作用的耦合,并可进行包含连续动力学过程和斜碰撞动力学过程的全局动力学模型转换与求解.最后通过动力学仿真算例对本文的模型进行了验证,并对比了不同碰撞方向下系统的动力学特性,结果较为可信,并全面分析了全局动力学过程中系统的动力学行为变化.

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