压电纤维复合材料层合壳的非线性动力学研究*

郭翔鹰 刘大猛 张伟

(北京工业大学机电学院, 北京 100124)

引言

压电纤维复合材料(Macro Fiber Composite)是近几年兴起的一种新型压电复合材料,在振动控制、变形控制和颤振抑制等方面都有广泛的应用[1]. 压电纤维复合材料是由压电纤维粘贴于各种板壳结构表面复合而成的一种新型材料,它将压电纤维和电极以一定的方式排列在高分子聚合物的夹层中,如图1：(1)为压电纤维层,(2)为十指交叉型电极丝,(3)为环氧聚合物. 它有寿命长、厚度薄、重量轻、韧性大和驱动力大等优点[2].

压电纤维复合材料结构同时具有驱动和传感的性能特点,这引起了国内外众多学者的极大兴趣,对压电纤维材料结构的振动特性进行了大量研究.Panda等[3]研究了几何大变形下压电纤维增强复合材料功能梯度层合板的非线性动力学特性. Xia等[4]基于高阶剪切变形板理论和大变形理论,分析了热环境下,表面粘结压电纤维增强复合材料驱动器的功能梯度材料板的非线性动态响应. Thinh等[5]研究了粘结有压电驱动器和传感器贴片的玻璃纤维/聚酯复合材料板的挠曲变形和振动响应控制. Sohn等[6]利用Donnell的壳理论和拉格朗日方程得到了带有压电纤维复合材料驱动器的智能材料壳结构的运动控制方程,并分析了壳体结构的动态特性. Shiyekar等[7]基于高阶剪切变形理论,给出了双稳态情况下,压电纤维增强复合材料层合板结构振动响应的解析解. Mareishi等[8]基于欧拉-伯努利梁理论和几何非线性理论,研究了在机械、热和电载荷共同作用下,表面粘合压电纤维增强复合材料层合梁的力学特性. 李敏等[9]研究了压电驱动器控制翼面变形方面的静动态特性. Rafee等[10]基于一阶剪切变形板理论和几何大变形理论,研究了表面粘合压电驱动器的碳纳米管/纤维/聚合物复合材料板结构的非线性自由振动响应.

图1 MFC结构组成Fig. 1 Composition of MFC structure

学者们对压电材料在振动控制和结构优化等方面的应用也做了大量的研究.Sodano等[11]研究了可充气压电纤维复合材料结构的振动抑制和结构的动态状况监测,实验结果表明将压电纤维复合材料作为传感器和致动器可以抑制结构振动. 李允等[12]采用有限元方法研究了1-3型压电纤维复合材料结构参数对驱动性能的影响. Ray等[13]利用压电纤维增强复合材料做阻尼层,研究了约束层和压电纤维取向对复合材料层合薄壳振动的影响. Choi等[14]讨论了用压电纤维复合材料驱动器来抑制旋转复合材料薄壁梁的振动响应.侯志伟等[2]研究了压电纤维复合材料的传感和驱动性能,并将其应用于梁的频响辨识和尾翼结构的减振,以及通过试验表明压电纤维复合材料有优良的传感和驱动元性能. 赵国旗等[15]有限元方法探讨了对叉指式压电纤维复合材料驱动器的结构优化.

研究压电纤维复合材料结构特性的文献较多,主要分析了压电材料在振动控制和结构优化方面的作用,大多数文献都是对薄板或者薄壳进行了研究,分析表明压电纤维材料对结构振动响应有一定的影响,而对于压电材料对中厚度板壳动力学行为的分析很少. 本文主要研究了一个1-3型压电纤维复合材料[16]的中厚度壳,分析了外激励的变化和压电系数的变化对壳体的非线性动力学行为的影响.

1 压电纤维复合材料层合壳的动力学方程

本文考虑一个正交对称铺设的1-3型压电纤维复合材料中等厚度的双曲壳,如图2所示模型,一边为固支边,其余三边自由,其在xy面上的投影是一个矩形,长为a,宽为b. 曲率半径分别为R1,R2,在γ轴方向的厚度为h.壳内的任一点在曲线坐标系内的位移分别为u,v,w,横向载荷的大小为q=fcos(Ωt).

图2 层合壳模型Fig. 2 Model of laminated shell

采用Reddy的三阶剪切变形板壳理论,位移场可表示为:

(1a)

(1b)

w=w0

(1c)

其中u,v,w表示壳体沿着α,β,γ三个曲线坐标轴方向的位移.

采用von Karman的非线性几何关系可得到应变和位移的关系式如下:

(2)

压电纤维复合材料本构关系的一般形式可以表示如下:

σp=Cpqεq-ekpEk

(3a)

Di=eiqεq+kikEk

(3b)

其中Ek表示电场强度,ekp表示压电常数.

1-3型压电纤维复合材料的应力应变关系为:

(4)

曲线坐标系与直角坐标系的转换关系为dx=a1dα, dy=a2dβ, dz=dγ. 利用以上关系式可在Hamilton原理中直接进行坐标系的转换.应用Hamilton原理建立结构的非线性运动控制方程. Hamilton原理可以表示如下:

(5)

将方程(1)、(2)、(4)代入到(6),并展开成广义位移形式的非线性动力学方程:

(6a)

(6b)

(6c)

(6d)

(6e)

悬臂壳的边界条件为:

(7a)

(7b)

y=0：u0=v0=w0=φ1=φ2=0

(7c)

(7d)

(7e)

结构的刚度系统可以表示为:

(Aij,Bij,Dij,Eij,Fij,Hij)

(i,j=1,2,6)

(Aij,Dij,Fij)=

(8a)

(8b)

2 Galerkin离散

将动力学方程无量纲化后,可得到结构无量纲形式的动力学方程. 通过Galerkin方法将系统的非线性运动控制方程离散,根据边界条件选取如下模态形式:

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

w0=w1(t)X1(x)Y1(y)+w2(t)X2(x)Y2(y)

(9e)

其中,

Xi(x)=sinλix-sinhλix+αi(coshλix-cosλix)

(10a)

Y1(y)=1

(10b)

(10c)

cosλiacoshλia+1=0

(10d)

cosμjbcoshμjb-1=0

(10e)

(10f)

由于所建立的中厚度复合材料壳结构动力学模型中,横向振动比其他两个方向的振动要大很多,所以本文重点研究结构的横向振动特性,将离散后的方程简化得到两自由度非线性动力学方程如下:

α14w1cosΩ2t++α15w2cosΩ2t=α16fcosΩ1t

(11a)

α24w1cosΩ2t+α25w2cosΩ2t=α26fcosΩ1t

(11b)

其中,μ为阻尼系数,α14,α15,α24,α25为压电系数.

3 摄动分析

采用多尺度法对偏微分方程进行摄动分析,引入小参数ε,并设方程的解为:

w1=w10(T0,T1)+εw11(T0,T1)+…

(12a)

w2=w20(T0,T1)+εw21(T0,T1)+…

(12b)

其中,T0=t,T1=εt.

微分算子为:

(13a)

(13b)

本文分析系统主参数共振和1∶1内共振的情况,建立相应的关系如下:

Ω1=Ω2=1

(14)

其中,σ1、σ2是调谐参数.

将方程(12)、(13)和(14)代入方程(11),令方程两边ε同阶项系数相等,则得微分方程如下:

ε0阶:

(15a)

(15b)

ε1阶:

α15w20cosΩ2t+α16fcosΩ1t

(16a)

α25w20cosΩ2t+α26fcosΩ1t

(16b)

设方程(15)有如下形式的解:

(17a)

(17b)

将方程(17)代入到方程(16)中得到系统1∶1内共振情况下极坐标形式的平均方程为:

(18a)

(18b)

(18c)

(18d)

4 数值模拟

本节将通过数值模拟方法研究复合材料壳结构的非线性动力学行为,研究压电系数及外激励幅值对壳体振动响应的影响. 选定一组初始参数为μ=0.4,α11=29.2,α12=-6.7,α13=10.7,α14=1.0,α15=1.0,α16=25.3,α21=27.7,α22=5.2,α23=27.0,α24=1.0,α25=1.0,α26=6.9,x1=1.6,x2=0.3,x3=1.9,x1=0.9. 方程(18)与(11)的系数有对应关系,根据方程(18),改变压电系数α14,分别取0.5,1.0,1.5可以得到幅频响应曲线,如图3所示,横轴表示失谐参数,纵轴表示第一阶和第二阶振幅. 从图中可以看出,增大压电参数,会使得系统的刚度变小.

固定上述的参数值和初始条件,研究外激励幅值的变化对结构振动响应的影响以及压电系统对结构振动响应的调节作用,根据方程(11),改变外激励f的幅值,研究系统的振动响应随外激励幅值的变化情况,当幅值从300变化到2000的过程中,得到壳体横向位移的分叉图,如图4所示. 从分叉图中分析可得,系统分别在400、700、1550附近出现了周期运动,而在其他的区域都为混沌运动. 图5给出了外激励幅值为850时系统的混沌运动形态.

图3 幅频响应曲线Fig. 3 Amplitude frequency response curves

图4 分叉图Fig. 4 Bifurcation diagram

图5 混沌运动Fig. 5 Chaotic motion

图6 分叉图Fig. 6 Bifurcation diagram

根据以上分析结果发现,外激励的幅值对结构振动特性的影响较大,在此基础上,通过改变结构的压电参数来调节结构的振动响应,实现压电参数对结构振动响应的抑制. 根据图5中的参数取值,取定激励f的幅值为850,只改变压电系数α25的大小,可以发现当α25从0增加到6的过程中,系统出现了不同的运动状态,如图6所示,从分叉图中看出通过改变压电系数可改变系统的非线性振动响应. 当α25从0增加为4.5,系统由混沌运动变为周期运动,具体的形态如图7所示.

图7 周期运动Fig. 7 Periodic motion

为了更好地说明压电参数对系统振动响应的调节作用,再选取下面一组数据μ=0.6,α11=-5.3,α12=8.9,α13=26.4,α14=1.0,α15=1.0,α16=19.3,α21=-10.4,α22=7.4,α23=-22.4,α24=1.0,α25=1.0,α26=14.1,x1=2.6,x2=1.3,x3=4.5,x1=5.1. 如图8所示,当激励幅值从3增大到20的过程中,系统出现了先周期运动后混动运动. 如图9和图10给出了外激励幅值为5和12时,系统周期运动和混沌运动的具体形态.

图8 分叉图Fig. 8 Bifurcation diagram

图9 周期运动Fig. 9 The periodic motion

图10 混沌运动Fig. 10 The chaotic motion

保持上述参数不变,取定外激励f的幅值为12,只改变α25的大小,系统同样出现了先混沌再周期再到混沌的运动形式. 从分叉图11中可以发现,当α25从1.0改变为2.0,结构原来的混沌运动将转变为周期运动,从而抑制了结构的振动响应,图12给出了调节后周期运动的具体形态. 通过上述两组不同的参数模拟结果可以发现,压电纤维可以起到调节和抑制结构振动响应的特性.

图11 分叉图Fig. 11 Bifurcation diagram

图12 周期运动Fig. 12 The periodic motion

5 结论

本文利用Reddy的高阶剪切理论、von Karman大变形理论和Hamilton原理建立了压电纤维复合材料层合壳在横向激励作用下的非线性偏微分运动控制方程,运用Galerkin方法离散得到了结构常微分形式的运动控制方程,摄动分析得到了系统极坐标形式的平均方程,并用数值方法研究了压电纤维复合材料层合壳结构在不同参数作用下的非线性动力学行为.

数值结果得到了结构在横向激励作用下幅频响应曲线以及位移的分叉图、相图、波形图和庞加莱图,在确定几何和材料参数的情况下,外激励的变化和压电系数的变化会引起结构振动响应的变化,出现从混沌到周期再到混沌的运动,通过改变压电系数可以抑制结构的振动响应. 在确定外激励幅值的情况下,改变压电系数,会改变系统的刚度,进而会改变系统的固有频率,因此压电效应会对系统的非线性振动响应产生影响. 所以,通过调节结构横向激励幅值和压电系数可以控制压电纤维复合材料层合壳结构的非线性振动响应.

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